复杂固体并式微结构模型及孤立波的存在性-应用数学和力学.PDF

　 ， ３９ １ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　 　 ２０１８年１月１５ 日出版 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｖｏｌ．３９，Ｎｏ．１，Ｊａｎ．１５，２０１８ 文章编号：１０００⁃０８８７（２０１８）０１⁃００４１⁃０９ ⓒ 应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ １０００⁃０８８７ 复杂固体并式微结构模型 及孤立波的存在性∗ 那仁满都拉 （内蒙古民族大学 物理与电子信息学院，内蒙古 通辽０２８０００） 摘要：　 把复杂固体看作具有两种不同性质的微结构，进而考虑两种微尺度非线性效应，建立了描 述复杂固体运动的并式微结构非线性模型．利用动力系统的定性分析理论和分岔理论，证明了在一 定条件下并式微结构固体中可以存在一类非对称孤立波并给出了其存在条件．分析表明两种微尺 度非线性效应同时影响孤立波的对称特性，微尺度非线性效应越强，孤立波的非对称特性越明显． 最后用数值方法进一步验证了定性分析结果． 关　 键　 词：　 并式微结构模型；　 非对称孤立波；　 存在条件 中图分类号：　 Ｏ３３１；Ｏ３４７　 　 　 文献标志码：　 Ａ ＤＯＩ：１０．２１６５６／ １０００⁃０８８７．３８００７４ 引　 　 言 任何材料都有一定的微结构，如合金、多晶体材料、陶瓷复合材料、功能梯度材料以及颗粒 材料等都具有不同特性的微结构．有些材料的微结构较为复杂，在不同尺度上表现出不同的微 结构，或在同一尺度上表现出不同性质的微结构，这些复杂的微结构导致了固体材料宏观层面 ［１］ 上的复杂动力学行为 ．因此，对复杂微结构固体的运动与形变的描述，用单尺度或单内部变 ［１］ 量是不够的，需要用多尺度或多内部变量来描述 ．文献［２］基于多尺度建模思想，建立了复 杂微结构固体的两种多尺度线性模型．文献［３］中建立了复杂微结构固体的两种非线性模型， 但考虑的只是宏观尺度非线性效应．文献［４］同样建立了只考虑宏观尺度非线性效应的复杂固 ［５］ 体的两种非线性模型并研究了固体中的孤立波．Ｃａｓａｓｓｏ等 基于矢量微结构理论，建立了一 ［６］ 维和二维多尺度微结构模型．Ｅｎｇｅｌｂｒｅｃｈｔ等 对弹性微结构固体中形变波的各种模型进行了 综述性评述．在非线性波模型的研究领域，动力系统的定性分析方法是一种十分有效的研究方 ［７⁃１１］ 法，近几年广泛应用于各类非线性波方程行波解的研究中 ． 波在介质中传播时不仅携带着能量，还携带着一些信息．也就是说，在一定初始和边界条 件下激起的波，它不仅携带着这些条件相关的信息还携带着与波传播介质相关的信息，这些信 息反映在波形变化或波谱变化上．因此，固体介质中孤立波存在和传播问题的研究，具有重要 意义．因为孤立波在固体介质中传播时，其形状、幅度以及传播速度中携带着反映介质性质的 重要信息，这对固体材料的无损检测与评价具有应用价值［１２⁃１３］．在文献［１４⁃１６］中对单尺度描 ∗ 收稿日期：　 ２０１７⁃０３⁃３１；修订日期：　 ２０１７⁃０５⁃２２ 基金项目：　 国家自然科学基金 作者简介：　 那仁满都拉（１９６３—），男，教授，博士，硕士生导师（Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｎｒｍｄｌｔｌ＠１２６．ｃｏｍ）． ４１ ４２ 那仁满都拉 述下微结构固体中孤立波的存在问题进行了较深入的研究，但对多尺度或多内部变量描述下 微结构固体中能否存在孤立波问题还未进行研究． 本文在前文工作基础上，考虑微尺度非线