5.4奈圭斯特稳定判据.ppt

5.4 奈圭斯特稳定判据 小结 * * 主要内容 幅角定理 奈圭斯特稳定判据 奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性 奈圭斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 一、幅角定理： 设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中： 为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。 闭环传递函数为： ，如下图所示： 令： 则开环传递函数为： …………… (a) 闭环传递函数为： …………… (b) 显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式： 。式中， 为F(s)的零、极点。 由上页(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点； 将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得： ……………..(c) F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。 同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。 [例]辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射 到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图： 同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图： 示意图 曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。 再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点逆时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。 这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。 [柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。 若N为正，表示 顺时针运动，包围原点； 若N为0， 不包围原点； 若N为负，表示 逆时针运动，包围原点。 二、奈圭斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。 这里需要解决两个问题： 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？ 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？ 它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴， Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；Ⅲ部分是负虚轴， 。 第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈圭斯特路径。如