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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律 第9章 平衡态与分子热运动的统计规律 9.4.1 分子的速率分布函数 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——气体速率分布律。 速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。 代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率. 1. 速率分布函数定义： 几率 一般与?V 成正比 几率 N V V V D D + ? : 内分子数 占总数比率 : N N D N N D 有关 与 V V N N D D o V V V +D V 2. 速率分布函数的归一化条件 dV 速率间隔的分子数占总分子数的比率 dV 速率间隔的分子数 归一化条件 V1-V2 速率间隔的分子数 含义？ 含义？ 含义？ dN dV V Nf = ) ( ò = D 2 1 ) ( V V dV V Nf N ò ￥ = 0 dV V Nf ) ( N o V 2 V dV 1 V dN 1 ) ( 0 = ò ￥ dV V f f(v) v 归一化条件说明 f(v)-v 曲线下的面积等于1 3. 用速率分布函数表示平均值 同理： 如何用f(V)表示？ dV V Nf dN V V V ) ( = D + ? ? = i i VdN V dV : 区间 在 ò ò ￥ = = T 0 ) ( dV V Vf N VdN V ò ￥ = 0 2 2 dV V f V V ) ( g ò ￥ = 0 ) ( dV V gf 例：设有N 个粒子，其速率分布函数为: 1. 作速率分布曲线。 2. 由vo求常数C。 3. 求粒子的平均速率。 4. 求粒子的方均根速率。 C ( vo v 0) 0 ( v vo ) = ) ( v f C vo v o ) ( v f 解： 9.4.2 分子的速度分布函数： 代表如下速度范围 d3v范围的分子数占总分子数的比率 速度空间（如图） 速度空间的体积元 dVxdVydVz 设取在该速度范围的分子数为dN ,则速度分布函数定义为 z z z y y y x x x dV V V dV V V dV V V + ? + ? + ? , , z y x dV dV dV z V o x V y V V r *9.4.3 分子的速度和速率分布律 1. 麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦证明：处于平衡态的理想气体系统 利用系统的各向同性性， 三个速度分量的相互独立性 2 ) , , ( V z y x Ae V V V F a - = ) ( ) , , ( 2 v F v v v F z y x = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 z y x v g v g v g v F = o x V z V z y x dV dV dV y V V r ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 z y x v g v g v g v F = 2 2 2 2 z y x v v v v + + = 2 ) ( 2 x v x e v g a - μ 2 ) , , ( V z y x Ae V V V F a - = 常数的确定： 1 ) , , ( = ò ò ò ￥ ￥ - ￥ ￥ - ￥ ￥ - z y x z y x dv dv dv v v v F 1 ) ( 2 2 2 = ò ò ò ￥ ￥ - ￥ ￥ - ￥ ￥ - + + - z y x v v v dv dv dv Ae z y x a 1 3 2 = ú ? ù ê ? é ò ￥ ￥ - - x v dv e A x a a p a = ò ￥ ￥ - - dx e x 2 麦克斯韦速度分布函数 处于平衡态的理想气体系统，速率满足下列分布规律 2. 麦克斯韦速率分布律 分子速率处于V+dV间的几率是分子速度矢量端点落在以V 和V+dV 为内外半径球壳内的几率。 利用速度分布律可以导出速率分布律 o z y x dV dV dV z V V r y V x V o y V z y x dV dV dV z V x V o 3. 速率分布曲线 The most probable speed 有关 、 与 m T V f ) ( 峰右移 - - T 最可几速率 : p V V 2 p V 1 p V ) ( V f 1 T 注: 大量分子 平衡态 统计规律 实验原理 Ag B