基本不等式及其应用第一课时.DOC

基本不等式及其应用（第一课时） 华东师范大学松江实验高级中学 董顶国 设计思路 本课教学的指导思想是“关注学生，以学生的发展为本，提高课堂教学有效性”。基于建构主义理论，通过创设情景，激发学生兴趣，教师引导学生根据自身的经验背景，主动建构，并通过变式教学的设计，引导学生自主探究，从而熟练掌握基本不等式及其简单应用。 教材分析 《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》对本课教学内容的要求是：利用实数平方的非负性导出基本不等式，并导出相关的二元不等式。强调配方法思想的运用。掌握基本不等式并会用于解决简单的问题。 事实上，基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容。尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的。 学情分析 学生在学习不等式的基本性质的基础上，熟练掌握了如何比较两个数（字母）或式子的大小。学习本课中，学生会碰到如何由创设的情景中抽象出数学知识的问题，顺利得到两个不等式，并进一步探究。因此在教学过程中，及时根据学生的即时反应，灵活变通的采用启发式教学，帮助学生突破思维难点，是本节课的关键。 教学目标 1．知识与技能：学会基本不等式的推导，并掌握不等式取等号的条件；知道算术平均数与几何平均数； 2．过程与方法：通过实例引入并导出基本不等式，并做简单应用，渗透代换、转化、分类讨论等数学思想； 3．情感态度与价值观：通过本节的学习，领略中国古代数学的辉煌成就，增强民族自豪感；培养学生严谨求实的科学态度。 教学重点： 两个基本不等式的掌握及满足的条件，数学思想方法的渗透 教学难点： 基本不等式的应用与数学思想方法的掌握 教学策略与手段 本课教学采用“探究发现教学模式”，学思结合，启发诱导，采用生成性教学策略，辅以多媒体动态演示，吸引学生的兴趣。 课前准备 1．学生的学习准备：预习课本P42-43 2．教师的教学准备：确定教案，制作多媒体课件及配置PPT翻页器 3．教学环境的设计与布置：多媒体教室投影仪的调试和移动黑板的布置 教学过程 （一）创设情景，提出问题 多媒体显示：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 师：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 师：（见学生没反应过来）我们可以从面积方面考虑。 生1：四个直角三角形面积相等。 师：还有其他吗？那么这四个三角形面积分别等于多少？ （二）探究分析，引入课题 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。 师：试比较一下正方形的面积和四个直角三角形面积和的大小 生：大于等于。 由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。 师：我们在时，得到，更一般地，如果 还成立吗？大胆猜想，小心求证。 生：成立。 师：如果成立，需要证明一下，谁来试试？ 生： 2．得到结论：一般的，如果 3．板书：给出今天的课题。 （三）推证猜想，形成结论 师：新得到的基本不等式需要注意什么问题？ 生：“任意实数”、“等号” 4. 观察基本不等式1的特征并猜想：。（给定） 生：。（替代的思想） 5. 导出并证明基本不等式2： 师：刚刚同学用作差法得到基本不等式1的证明，那么基本不等式2能不能用作差法来证明呢？谁来试试？ 生：，即 师：能不能由基本不等式2去得到基本不等式1呢？ 生：能。 师：这里涉及到不等式的变形，课后请探究两个不等式的联系，及在一定条件下的转化。 6. 请学生比较两个基本不等式的区别和联系，并总结 7. 介绍算术平均数和几何平均数 （四）例题选讲 学会应用 师：既然基本不等式2对任意的正数都成立，那么我们特殊化处理，由一般到特殊能得到一些什么结论？（巡视两组） 师：我看许多同学都用具体的数字代入，有得到，正确吗？这是第一层次。有没有同学想过，除了数字外，我用其他式子代一下？接下去我们看一道例题。 例1 已知，求证：，并指出等号成立的条件。 师：请同学们谈谈对这道例题的想法。 生1：用作差法证明 生2：把乘过去，再变形（典型错法，当成了解不等式） 师：你想用分析法来证明吗？（纠错、释疑，引导） 生3：把当做基本不等式中的，利用基本不等式证得 师：什么时候取等号？由求得两解 生：因为 师：一定要注意的条件；强调利用基本不等式2的前提条件。 师：请学生观察这道例题，并用文字性描述规律。 生：任意一个正数和它的倒数之和大于等于2。