在发明中学习 线性代数概念引入 之三： 行列式课件.ppt

一. 二元一次方程组的几何意义 行列式的定义 方程组 可写成向量形式 即 1. 有唯一解的条件 不共线 即 2. 消元: 方程(1.1)两边与 (1.1) 作内积消去y, 得 其中 就是 同理得 图2 因此, 于是 3. 二阶行列式 — 平行四边形面积 称为二阶行列式, 记作 是平行四边形 OAPB 的有向面积, 是两个向量 或 的函数, 计算公式: 或 图2 3. 代数算法 利用几何图形表达出来, 就是: 以上算法用到二阶行列式的如下基本性质 (1) det(a,b)可以看成向量 a,b 的乘积来展开: det(ka+k1a1, b) = k det(a,b) + k1det(a1,b) det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1) 如图, 就是 (3) 面积单位:det(e1,e2)=1 由 (2) det(a,a) = 0 邻边重合,平行四边形退化为线段, 面积为 0. det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1 det(a,b) = - det(b,a) 知 det(u,v)=det(u,v+au) 可写成 其中 二. 三阶行列式与体积 1. 三元一次方程组的几何意义 两边同时与 方程 作内积消去 y, z , 得到 类似地可以得到 y, z 的表达式。 当 时得 从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使 则 就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作 2. 三阶行列式 — 平行六面体体积 数学聊斋之三人挤成与照片之维数变化 三十多年前到重庆，公共汽车很挤。 有人形容为：人挤成照片了。 三维的人挤成二维的照片， 体积变成 0 。 行列式两列(行)相等，也挤成照片。 3. 三阶行列式的基本性质 (3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标轴上的单位向量. )可以看作 的乘积来展开. (1) det( (2) 如果三个向量 中有两个相等, 则 det( ) = 0 . ? 挤成 “照片” 将三个向量 中的任意两个互换位置, 则det( ) 变为原来值的相反数。 4. 利用基本性质计算三阶行列式 (2.1) 这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成 当 i,j,k 中有两个相等时， 代入(2.2), 得 又 类似地有 (2.2) 我们有 类似地有 三. n 阶行列式的引入 其中 n 阶行列式 它应具有以下基本性质： (1) 是 的某种乘积，可以按乘法法则展开。 (2) 如果 n 个向量 中有两个相等, 则 = 0 。将n个向量 中的任意两个互换顺序， 则 变为 。 (3) det(e1,e2,…,en)=1，其中 n 维列向量 ei 的第 i 分量为1、其余分量为0。 是由 决定的 “n 维体积” 利用基本性质计算 n 阶行列式 (3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为: 将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12…n), 相应地将 变成 (3.2) 以下只须对每个排列 求 檐 在发明中学习 线性代数概念引入 之三: 行列式 李尚志 中国科学技术大学 檐