Chapter8 计数模型.docVIP

计数模型 当因变量yi为计数变量，即取事件发生的数目时，应考虑使用计数(Count )模型。模型适用于：因变量是离散的整数且具有数值小，取零的个数较多而自变量大多是表示属性的名义变量的情况。于是需要用能反映这种特点的模型形式来改进普通最小二乘法。比如，因变量yi可以表示妇女曾生育子女的个数、某人在某年被拘捕的次数、一个企业在某年申请专利的个数等。 基于上述计数数据建立的模型主要有：泊松回归模型、负二项回归模型等，其中最为常用的是泊松回归模型。 泊松回归模型 模型设定与估计 泊松回归模型定义yi服从一个参数为?i的泊松分布。模型的基本形式如下： ， yi =1, 2,…, SEQ 公式 \* ARABIC 1 yi的条件期望和方差均为： SEQ 公式 \* ARABIC 2 由于?i表示泊松分布的期望和方差，因此?i0。一般将?i表示为指数函数： SEQ 公式 \* ARABIC 3 即 SEQ 公式 \* ARABIC 4 根据（3）式，xi对 E(yi|xi) 的边际作用为： SEQ 公式 \* ARABIC 5 SEQ 公式 \* ARABIC 6 SEQ 公式 \* ARABIC 7 因此，?表示xi增加1个单位时，yi变化(100?%)。 对于样本[(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)]，可通过最大化其对数似然函数得到参数?的估计量。其对数似然函数形式如下： SEQ 公式 \* ARABIC 8 令其一阶导数（得分向量）为0： SEQ 公式 \* ARABIC 9 其Hessian矩阵为： 显然，对所有的x和?，Hessian矩阵都是负定的，即LnL是全局凹的，可以取到最大值。且为参数极大似然估计量的近似协方差矩阵。 例1：教育对生育的影响。数据为Bostswana的调查数据，被解释变量为子女的个数，解释变量包括教育、年龄（二次方）、是否二婚、生活环境（城市或乡村）等。（file：fertile2.raw） （1）分别用OLS方法和Poisson回归模型进行估计； （2）解释两种估计结果中educ对应参数估计量的经济含义。 例2：船只事故（Greene，2000）。被解释变量为每月船只的事故次数，解释变量包括船只的建造时间（虚拟变量）、船只类型。估计此模型（file：ship.wfl） 拟合优度的测量 泊松回归模型不存在类似线性回归的R2，因为其条件期望是非线性的，而且回归模型是异方差的。不过，我们可以构造以下几种统计量来测量模型的拟合优度。 （1）基于标准残差的统计量： SEQ 公式 \* ARABIC 10 该统计量实际上是将拟合的泊松模型和仅含常数项的模型进行比较。但是它可能为负值，而且当模型剔除某一变量后，的值会减小。 （2）对于单个观察值，其偏差为： SEQ 公式 \* ARABIC 11 由于0Ln(0) = 0。若模型模型包含常数项，则＝0。由此可得偏差总和为： SEQ 公式 \* ARABIC 12 该统计量可作为另一种检验拟合优度的标准。当模型完全拟合时，统计量的值为0（但是由于yi是一个整数而预测值则是连续的，因此这种情况不会发生）。 （3）Cameron和Windmeijer在此基础上又提出以下统计量：