分式运算技巧汇编(整合版).docVIP

分式运算技巧 分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧. 一、逐步通分法 计算 分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的． 解：原式== 评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。 二、整体通分法 计算 分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些. 解：原式= 评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便． 三、分裂整数法 例3. 计算： 分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分. 评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 四、裂项相消法 ??例4.?计算： 解：原式 说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用裂项相消法。 五.?活用乘法公式 ??例4.?计算： 解：当且时， 原式 说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。 六. 见繁化简法 例6. 计算： 分析 分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式 解：原式 评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。 在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。 七、挖掘隐含条件，巧妙求值 例7 若，则=___________。 解：∵，∴ 但考虑到分式的分母不为0，故x=3 所以，原式 说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。 八、巧用特值法求值 例8 已知，则=_____________。 解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得： 原式 说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。 九、巧设参数（辅助未知数）求值 例9 已知实数x、y满足x:y=1:2，则__________。 解：设，则，，故原式 说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。 整体代入 例10 若=5，求的值． 分析：将=5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为，把x-y=-5xy代入，即可求出其值． 解：因为=5，所以x-y=-5xy. 所以原式==== 说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦． 十一、倒数法 例11、已知a+=5．则=__________. 分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将的分子、分母颠倒过来，即求=a2+1+的值，再进一步求原式的值就简单很多． 解：因为a+=5， 所以（a+）2=25，a2+=23. 所以=a2+1+=24， 所以= 说明：利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式求值问题思路自然，解题过程简洁． 十二、主元法 例12 已知xyz≠0,且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求的值. 解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立， 得 3x－4y－z=0, 2x＋y－8z=0. 解得 x=3z, y=2z. 所以，原式== 说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化． 十三、 特殊值法 例13 已知abc=1,则＋＋=_________. 分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则 原式=++=++=1. 说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．