关于H-点相关问题的分析-应用数学专业论文.docxVIP

PAGE PAGE 1 PAGE PAGE 2 J 同 离散与组合几何学是现代数学的重要分支 [1, 2], 其发展最早可以追溯到两千 多年前的阿基米德时代, 8直到20世纪初开始才逐渐得到人们的重视. 离散与组 合几何学主要研究n维欧氏空间中的一些基本且直观的问题, 其最初的研究对象 主要是几何图形的计数与极值等问题, 内容涉及点、直线、平面、圆与球面的配 置, 如等圆覆盖、等球装箱及Steiner树问题等. 20世纪40?50年代, 随着原子能的 利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起, 现代科学技术研究的对象日益超 出人类的感官范围, 向高温、高压、高速、远距离、自动化发展, 科学研究越来 越需要精确的理论分析和计算作为指导. 数学以空前的深度和广度向其他科学 技术领域渗透, 带动了很多应用数学分支的发展, 内容的丰富、应用的广泛、名 目的繁多都是史无前例的. 如计算机科学技术迅猛发展, 促进了组合理论、数理 逻辑、代数、数理语言学、图论、计算方法等诸多数学分支的发展. 在此背景 下, 离散与组合学也得到快速发展, 研究范畴不断拓展, 与其他数学分支交叉的特 点愈加突出. 1964年, H. Hadwiger, H. Debrunner 与V. Klee 合著的Combinatorial Geometry in the Plane) [3]一书出版, 标志着这门学科的知识体系正式确立. P. Brass, W. Mose与J. Pach合著的Research Problems in Discrete Geometry) [4]一书中充分 地展现了这门学科的丰富内涵, 其内容涉及计算机与算法几何、初等与凸几何、 微分几何、数论、分析学、图论、代数学、组合数学等很多领域的知识. 近二十年来, 许多其他数学分支的理论被广泛地用于解决一些长期悬而未决 的离散与组合几何问题, 同时很多新的问题也随着研究成果的不断涌现而产生, 离 散与组合几何学显示出了强大的生命力, 特别是离散与组合几何问题研究的直观 易于表达、难以解决的特点, 以及问题解决体现出的创造性数学思想产生了独特 的魅力, 给众多的数学家与数学爱好者带来了浓厚的兴趣. 从十七世经的Newton、 十八世纪的Gauss、十九世纪末的Minkowski, 到二十世纪的Erdo¨s和Lova′sz, 很多著 名的数学家都曾在这一领域取得过令人瞩目的成果. 时至今日, 离散与组合几何 学己成为计算机科学的重要基础和研究工具, 在编码理论、组合优化理论、机器 人学CRobotics)、计算几何与计算机图形学等很多领域都有十分广泛重要的应 用, 正如1997年Boltyanski等人在他们的专著 [5]中指出的, 泛函分析、经济数学、 优化理论在深入进程中必须建立确切的几何形象或几何模型, 组合几何—离散几 何—凸几何理论己成为现代应用数学的主要工具之一. 数的几何 [6, 7]作为离散与组合几何学与数论的交叉研究领域, 是一门用几何方 法研究数论问题的学科. 半个世纪前, 华罗庚先生曾积极倡导数的几何在我国的发 展. 因为它不仅本身非常重要, 而且对研究丢番图逼近, 代数数论和超越数论等学 科具有重要的应用价值, 更是连接经典几何与数论之间的一座桥梁 [8, 9]. 其主要内 容是在整数格点系统下, 将格点作为研究工具, 来讨论数论研究领域中某些比较烦 琐问题的证明, 可以使问题的证明得到易化. 所谓格和格点是指: 设 u与 v为二维平面内两个线性无关的向量, 那么, 所有形如p = m u + n v (其 中m, n为整数) 的点集称为由向量 u与 v生成的一般格Λ, 一般格Λ中的点称为格点. 由形如m u + n v (m, n ∈ {0, 1}) 的格点形成的平行四边形Q称为Λ的基本平行四边 形, 其面积记为det(Λ). 特别地, 如果Λ由两个单位正交的向量生成, 则称Λ为整数 格, 记为Z2. Minkowski 定理是数的几何体系的基石, 它给出了关于原点中心对称凸集的面 积与其所含格点数之间的关系. Minkowski 继而开创的凸性理论在优化理论中的 应用引发了国际数学界的广泛关注. 因而, 在Minkowski定理的基础上研究其他凸 区域与其所含格点数之间的关系成为数的几何中重要研究领域. 1914年, H. F. Blichfeldt (1873- 1945) 研究了任意区域的面积与该区域在整数 格系统下平移象所含格点数的最大值的下界, 提出并证明了著名的Blichfeldt定 理 [6, 7, 10], 并由该定理衍生出了许多数的几何研究的新内容, 极大丰富了数的几何 的理论体系. 2001年, C. D. Olds, A.