关于几种光滑函数类的最佳逼近-应用数学专业论文.docxVIP

华北电力大学硕士学位论文 华北电力大学硕士学位论文 I I 摘 要 非线性逼近是函数逼近的一个重要研究方向。一般而言，非线性逼近优于 线性逼近，其主要优点是，对一些光滑度比较低的函数仍然可以得到较高的逼 近阶。非线性逼近在信号与图像处理、声的传播、算子方程的求解、统计估计 等方面都已经有了很多的应用。 最佳 m 项逼近是非线性逼近的一个特殊形式，其基本思想是逼近元并不来 自于一个固定的线性子空间，而是来自于一非线性流形，且逼近空间依赖于被 逼近的函数。 本文主要研究数值范数各向异性 Besov 类和向量范数各向异性 Besov 类使 用正交字典的最佳 m 项逼近。正交字典是一种性质优良的常用字典，为得到函 数关于正交字典最佳 m 项逼近的上方估计，本文同时讨论了两类函数关于贪婪 算法逼近的误差。 全文共分四章，第一章是绪论，第二章是对数值范数各向异性 Besov 类关 于正交字典的最佳 m 项逼近的研究，第三章是对向量范数各向异性 Besov 类的 最佳 m 项逼近的研究，第四章是结论与展望。研究的主要思路是，首先，利用 块分解技巧得到函 数类的表现定理， 然后，借助各自的 表现定理，利用 Littlewood-Paley 不等式和 Marcinkiewicz 型定理等基本关系式及一些分析技巧， 得到函数类关于贪婪算法的上方估计，及最佳 m 项逼近的逼近阶。对于向量范 数的各向异性 Besov 类，由于除了各向的光滑性不同外，各向的度量也不相同， 需克服的难点较多。结论表明数值范数各向异性 Besov 类关于正交字典的贪婪 算法与最佳 m 项逼近的阶是一致的。 关键词：各向异性 Besov 类；表现定理；贪婪算法；最佳 m 项逼近 Abstract Nonlinear approximation is one of the important parts of approximation theory. Generally speaking, the nonlinear approximation is superior to the linear approximation. Its main advantage is that one can get the higher asymptotic orders to functions with less smoothness in the nonlinear case than in the corresponding line ar approximation. Nonlinear approximation is investigated extensively in applications, such as image and signal processing, noise removal, the numerical solution of integral equations and statistical estimation and so on. The best m-term approximation is a special form of nonlinear approximation. Its basic idea is that the approximants do not come from a fixed linear space but from a nonlinear manifold, and the approximation space depends on the functions being approximated. This paper mainly studies the best m-term approximation for numerical norm anisotropic Besov class and vectorial norm anisotropic Besov class with regard to orthogonal dictionaries. The orthogonal dictionary is commonly used because of its good properties. In order to obtain the upper estimate of the best m-term approximation with regard to the orthogonal dictionary, we discuss approximate error of these two kinds of classes with respect to the greedy algo