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关于小数无理性、素因数估计及数字签名的研究 关于小数无理性、素因数估计及数字签名的研究 PAGE PAGE 10 目录 绪言 １ 第一章 整数位数码列生成的小数 1.1 引言 ５ 1.2 定理及推论 ６ 1.3 定理及推论的证明 ７ 第二章 整数素因数的估计 2.1 引言 １０ 2.2 定理及推论 １０ 2.3 定理及推论的证明 １１ 2.4 讨论 １４ 第三章 对一种指定接受组的强代理签名方案的分析与改进 3.1 引言 １７ 3.2 Chen-Xu 方案 １７ 3.2.1 参数设置 3.2.2 代理签名的生成 3.2.3 代理签名的验证过程 3.3 对 Chen-Xu 方案的分析 １９ 对 Chen-Xu 方案的伪造攻击 Chen-Xu 方案能被伪造的原因 3.4 对 Chen-Xu 方案的改进方案 ２０ 3.4.1 参数设置 3.4.2 代理签名的生成 3.4.3 代理签名的验证过程 3.5 改进方案的密码分析 ２０ 3.5.1 改进方案的正确性证明 3.5.2 改进方案的强不可伪造性 3.6 结束语 ２１ 结论 ２３ 参考文献 ２５ 附录 致谢 绪言 数论是数学中最古老也最活跃的一门分支.。早在十八世纪末，德国数学家高斯就出版了 《算术探讨》一书，从而开始了现代数论的新纪元。数论的中心课题是研究整数及其延伸的 数或函数的性质。现在，数论已经形成了许多生命力旺盛的分支学科，例如初等数论、解析 数论、代数数论、不定方程理论、组合数论、概率数论、几何数论、计算数论、数论应用， 等等。 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。涌现出了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、王元、 陈景润、潘承洞等一批在国际上有影响的数论专家，他们在解析数论、丢番图方程、一致分 布等方面都有过重要的贡献。例如，华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有 盛名；陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个 素数的乘积之和”，迄今为止，这仍是这一领域的最好结果。 由于整数的性质复杂深刻难以琢磨，数论长期以来一直被认为是一门高度抽象、“纯之又 纯”的数学学科。20 世纪世界级数学大师哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘 的纯数学学科。哈代本人也因主要从事数论的研究而被称为“纯之又纯的纯粹数学家”。 随着计算机的产生与发展给科学技术带来的巨大而深刻的变革，人们认识到，数论不仅仅 是一门纯数学学科，也是一门应用性极强的数学学科。在计算方法、代数编码、组合论、近 似分析、差集合、快速变换等方面，数论的许多研究成果都有了广泛的使用；特别是在信息 安全理论和技术领域，例如在公钥体制、数字签名、伪随机数列、Hash 函数和电子货币等 方面，数论的应用研究更是取得了许多既有理论意义，又有实用价值的引人瞩目的成果。数 论的研究方法和成果促进了信息安全理论和技术的研究，后者则为数论提出了许多有应用背 景的研究课题，推动了它的发展。 本文主要由三部分组成 第一部分主要是对数列性质的研究。关于位数码的研究，特别是无理数的位数码列的算 术性质和解析性质的研究，除了理论意义外，有很强的应用价值，例如可以用于设计安全 性好的伪随机数列。这一部分对整数的数码列所构成的小数的有理性与整数列的增长特性 的关系进行了研究。 对于整数 x，x ??x  10m?1 ?  x 10 ??x  , 0 ??x  ??10 , 0 ??i ??m ?1,称 ??x x x ??或 m?1 1 0 i m?1 1 0 ??x??是的 x 十进制表示, 并称 xi （ 0 ??i ??m ?1）是 x 的十进制表示的位数码.并记 x ??xm?1 ??x1 x0 . 以 ????0.(?1 )(?2 ) (?n ) 表示将?1,?2 , ,?n , 的位数码排列所成的小数，例如 0.(1)(12)(122 ) (12n ) = 0.112144 . 由整数的位数码列排列生成的小数的无理性受到很多数论工作者的关注。例如，在文献[1] 中就可以见到对于由自然数的位数码列生成的小数 0.1234567891011213? 和由素数的位数码列生成的小数 0.12357111315? 的无理性的证明。1993 年 N.Hègyvár 给出了 ?定理 A [1] 若 ??1 ?  ???,则 ????0.??1 ???2  ? ??n ?  为无理数. k ?1 ?k 1994 年与 2001 年，A. McD. Mercer ,和 P. Martinez 先后证明了下面的定理 B 和 C： k? r k 定理 B[4] 若存在一个整数 r ??0 ,使得 ?  ???,则 ????0.??1 ???2  ? ??n ?  为无理