关于非可加集函数的若干问题的研究-基础数学专业论文.docxVIP

Classified Index: O159 U.D.C.: 517.98 Dissertation for the Doctoral Degree in Science RESEARCH ON SOME PROBLEMS OF NON-ADDITIVE SET FUNCTIONS Candidate: Sun Bo Supervisor: Professor Wu Congxin Academic Degree Applied for: Doctor of Science Specialty: Fundamental Mathematics Affiliation: Department of Mathematics Date of Defence: July, 2007 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 摘 要 摘 要 哈尔滨 哈尔滨工业大学理学博士学位论文 – – I – – – PAGE VIII – 摘 要 非可加集函数理论是一个新的数学分支, 是经典测度理论的推广, 在知 识工程, 人工智能, 博弈论, 统计学, 经济学和社会学等领域都有重要的应用. 所以, 研究独立于它的应用的关于非可加集函数的统一的数学理论成为既有 理论意义又有实际价值的研究课题. 本文首先研究了非可加集函数的原子和 伪原子, 然后讨论了子集代数上零可加集函数和双零可加集函数的扩张问题, 最后研究了局部紧 Hausdorff 空间上的模糊测度的正则性. 本文主要工作如 下: 1. 举例说明了 Pap 的关于零可加集函数的原子的一篇论文中的引理 1 (也就是Null-additive Set Function)一书中的引理 6.4) 的充分性是不成立的, 同时给出了该问题的正确的充分必要条件和证明. 2. 针对前人都是在零可加性条件下研究非可加集函数的原子的情况, 本 文讨论了非零可加条件下的非可加集函数的原子, 得到了许多与零可加性条 件下相同的结论 (例如 Saks 分解定理). 3. 我们定义了非可加集函数的伪原子, 通过举例说明了非可加集函数的 原子和伪原子的不同与联系, 同时指出, 我们可以把所有的原子和伪原子分 为三种情形: 情形 I 是伪原子但不是原子; 情形 II 是原子但不是伪原子; 情 形 III 既是原子也是伪原子. 特别指出, 双零可加性条件可能是非可加集函数 的伪原子的最佳研究环境. 给出了关于非可加集函数的伪原子的性质和定理, 它们在形式上与有关非可加集函数的原子的相应结论类似, 但实质是不同的. 证明了零可加意义下的关于非可加集函数的原子和伪原子的分解定理. 4. 举例说明了 Pap 的关于子集代数上零可加集函数扩张问题的一篇论文 中的定理 2 的证明是错误的, 同时给出了正确的证明, 进一步地指出这种扩张 保持单调性. 仿照零可加集函数的扩张定理, 我们又给出了满足单调性的双 零可加集函数的扩张定理, 并指出该扩张也可以保持单调性. 5. 给出了局部紧 Hausdorff 空间 X 上的内 (外) 正则集, 正则集以及正则 模糊测度的定义. 得到了模糊测度正则的充要条件和任意两个紧 (或紧 Gδ ) 集 的正常差为内 (外) 正则集的条件, 同时证明了单调递增的内正则集的并是内 正则的以及具有有限模糊测度的单调递减的外正则集的交是外正则的. 此外, 在严格单调条件下, 我们还证明了具有有限模糊测度的有限个两两不交内正 则集的并是内正则的以及每一个紧 (或紧 Gδ ) 集是外正则的当且仅当每一个 有界开集是内正则的. 关键词 零可加集函数; 双零可加集函数; 模糊测度; 原子; 伪原子 Abstract Abstract 哈尔滨 哈尔滨工业大学理学博士学位论文 – – III – – – PAGE IV – Abstract The theory of non-additive set functions is a new branch of mathematics. As a generalization of the classical measure theory, non-additive set functions have been applied in many areas, such as knowledge engineering, artificial intelligence, game theory, statistics, economy and sociology. Therefore, the study of non-additive set functions has important