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南京航空航天大学硕士学位论文
南京航空航天大学硕士学位论文
广义
广义 Lyapunov 矩阵方程的数值解法
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摘 要
广义 Lyapunov 矩阵方程出现在双线性系统的可控性分析与模型约化、线性随机系统的稳定 性分析与最优稳定化等领域。本文研究广义 Lyapunov 矩阵方程的数值解法。首先,提出了求解 广义 Lyapunov 矩阵方程的 Hermite 和斜 Hermite 分裂(HSS)迭代法,并分析该方法的收敛性, 给出了收敛因子的上界。为了降低 HSS 迭代法的计算量,提出了求解广义 Lyapunov 矩阵方程 的非精确 HSS 迭代法,并分析其收敛性。其次,发展了广义 Lyapunov 矩阵方程的全局 Arnoldi 过程,将广义 Lyapunov 矩阵方程整体投影到一个线性算子 Krylov 子空间上,导出了求解广义 Lyapunov 矩阵方程的全局完全正交化(FOM)方法和全局 GMRES 方法。最后,为了加快全局 FOM 方法和全局 GMRES 方法的收敛速度,基于 HSS 预处理子,提出了求解广义 Lyapunov 矩 阵方程的预处理全局 FOM 方法和预处理全局 GMRES 方法。给出了一些数值算例以说明本文 所给方法是有效的。
关键词:广义 Lyapunov 矩阵方程,HSS 迭代法,非精确 HSS 迭代法,全局完全正交化方法, 全局 GMRES 方法,HSS 预处理
Abstract
Generalized Lyapunov equations arise in controllability analysis and model reduction of bilinear systems, stability analysis and optimal or robust stabilization of stochastic linear control systems and so on. This thesis is concerned with the numerical solution of the generalized Lyapunov equations. Firstly, a Hermitian and Skew-Hermitian spiltting (HSS) iteration method is presented for solving the generalized Lyapunov equations. The convergence of the HSS iteration method is analyzed, and an upper bound on convergence rate is derived. In order to reduce the computational cost, an inexact variant of the HSS iteration method is established and its convergence property is discussed. Secondly, a global Arnoldi process for the generalized Lyapunov equations is developed, and global full orthogonalization method (FOM) and global generalized minimal residual (GMRES) method are proposed by projecting the generalized Lyapunov equations onto a linear operator Krylov subspace. Finally, in order to accelerate the convergence rate of the global FOM and global GMRES methods, preconditioned global FOM and preconditioned global GMRES method
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