关于Frobenius定理的一个问题-基础数学专业论文.docxVIP

II II Abstract A problem about Frobenius’ theorem A problem about Frobenius’ theorem Abstract Let G be a finite group and e a positive integer dividing |G|, the order of G. We define Le(G) = {x ∈ G | xe = 1}, and k(G) = max { k | |Le(G)| = k · e, ?e | |G|}. Frobenius proved that for any positive integer e, there exists a positive integer k such that |Le(G)| = k · e. Since then, he conjectured that if |Le(G)| = e, namely, k(G) = 1, then Le(G) is normal subgroup of G. In [5] and [12], Mengwei and Shi jiangtao classified the finite group G in the case where k(G) = 2 and 3 . Jiang liyuan gave the classification of G with k(G) = 4. Based on those works, we will obtain partial classification of G satisfying some conditions. Keywords: Frobenius’ theorem ; finite p-group; meta cyclic group; Nilpotent group Written by Ren Lijuan Supervised by Prof. Li Xianhua 目 录 第一章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 研究问题及结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 HYPERLINK \l _TOC_250000 第二章 相关引理及有限 p- 群的部分结论 3 第三章 |π(G)| = 2的 G 的结构 9 §3.1 |π(G)| = 2的 G 的结构 9 §3.2 一些 Sylow 群皆循环的群 17 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PAGE PAGE 10 关于 Frobenius 定理的一个问题 第一幸 绪论 第一章 绪论 §1.1 研究背景 本文中出现的群皆为有限群. π(G) 表示 G 的阶的素因子的集合; |π(G)| 表示集 合 π(G) 中元素的个数; Zn 表示 n 阶循环群; Dn 表示 n 阶二面体群; A : B 表示正规子群 A 被群 B 的可裂扩张. 设 e 是 |G| 的因子, 令 Le(G) = {x ∈ G | xe = 1}, k(G) = max{k | |Le(G)| = ke, ?e | |G|}. 1895 年 Frobenius (见文献 [1]) 证明了以下结论: 若 e | |G|, 则存在整数 k, 使得 |Le(