关于Frobenius定理的一些结论-基础数学专业论文.docxVIP

II II Abstract On some conclusions of the Frobenius theorem On some conclusions of the Frobenius theorem Abstract Let G be a finite group and e a positive integer dividing |G|, the order of G. We define Le(G) = {x ∈ G | xe = 1}. Frobenius in 1895 proved that for any positive integer e dividing |G|, there exists a positive integer k such that |Le(G)| = k · e. This result is called Frobenius’ theorem. The positive integers e and k are closely related with the structure of G. In recent years, the classification of the finite group G for a given positive integer k is an interesting project. Let k(G) = max{k | |Le(G)| = ke, ?e | |G|}. Wei Meng and Jiangtao Shi classified the finite group G in the case k(G) = 2 and 3. We obtain the classification of the finite group G with k(G) = 4 in this thesis. Keywords: Frobenius’ Conjecture; finite p-group; meta cyclic group Written by Liyuan Jiang Supervised by Prof. Xianhua Li 目 录 第一章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 研究问题及结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 第二章 基本概念和相关引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 第三章 关于Frobenius定理的一些结论 10 §3.1 满足k(G) = 4的p-群的结构 10 §3.2 |π(G)| ? 2且k(G) = 4的有限群G的结构 22 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 PAGE PAGE 10 关于Frobenius定理的一些结论 第一幸 第一章 绪论 §1.1 研究背景 本文中出现的群皆为有限群. 设G为有限群, 用π(G)表示G的阶的素因子集合, 设e是|G| 的因子, 令Le(G) = {x ∈ G | xe = 1}, k(G) = max{k | |Le(G)| = ke, ?e | |G|}. 1895年Frobenius在文献[1]中得出