关于Menger概率度量空间中非线性映射的不动点存在性问题研究-应用数学专业论文.docxVIP

目录 目录 IV IV 目 录 第 1 章 引 论 1 1.1 历史背景与现状 1 1.2 本文所要研究的主要问题及研究意义 4 1.3 预备知识 5 第 2 章 半序空间中弱压缩映射的重合点定理及其应用 8 2.1 半序 Menger PM-空间中广义循环 (?h,?L)S -弱压缩映射的重合点定理... 8 2.2 半序度量空间中广义弱压缩映射的重合点定理 21 2.3 Menger PM 空间中广义循环 (?h,?L)S -弱压缩映射的重合点定理的应用 23 第 3 章 广义 Menger PM-空间中的不动点定理 26 3.1 广义 Menger PM-空间中空间中压缩映像的不动点定理 26 3.2 广义 Menger PM-空间中的不动点定理在积分方程中的应用 38 结论与展望 42 致 谢 42 参考文献 44 攻读学位期间的研究成果 48 第 第 1 章 引论 PAGE PAGE 1 第 1 章 引 论 非线性泛函分析是二十世纪三十年代形成的数学分支，是现代数学非线性 分析的一个重要组成部分，其研究的主要对象是函数构成的空间，内容主要包 括拓扑度理论、算子理论、最优化理论、变分与临界点理论. 由于泛函分析源自 研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型，这说明函数空 间里有不同的拓扑. 而函数空间一般是无穷维线性空间. 所以研究泛函分析的 函数空间是一般的带有一定拓扑的线性空间. 在具体的函数空间上，我们对函数的各种各样的操作, 一般要用算子理论进 行操作. 算子理论一般分为线性算子理论和非线性算子理论. 通常, 我们遇到非 线性问题, 利用的是非线性算子. 非线性的算子在微分几何和微分方程理论中 都扮演重要的角色，比如研究微分波动方程解的存在性和唯一性. 本章主要介绍某一具体函数拓扑空间 Menger PM-空间的理论的发展状况、 必威体育精装版前沿和所要研究的一些相关问题．为了更好地研究 Menger PM-空间, 了解 该空间的一些基本概念和引理是非常有必要的. 因此, 本章还介绍了该空间中 的一些基本概念以及相关的引理． 1.1 历史背景与现状 巴拿赫（Banach）空间是泛函分析中应用最为广泛的一类拓扑线性空间, 它 是由波兰数学家巴拿赫建立的一个函数空间. 许多在数学分析中学到的无限维 HYPERLINK /view/1482627.htm 函数空间都是巴拿赫空间, 巴拿赫空间是赋范线性空间也是完备的度量空间, 这里所说的度量空间是由 M.Frechet 于 1906 年引入的， 即对空间中的任意两点, 都有唯一一个非负实数对应, 这一非负实数称为这两点间的度量（或距离）．作 为度量空间中不动力理论的基础, 巴拿赫建立了 Banach 压缩映射原理（即 Banach 压缩映射不动点定理）. 由于 Banach 度量空间的两点之间距离是唯一确 定的, 在现实生活某些地方应用存在一定的局限性, 因为现实生活中许多量具 有概率性、随机性. 例如, 在工程测量、测算中存在随机误差, 因此, 要建立它 们之间的“距离”就不能单纯用一个确切的数来表示．所以, 在很多情况下, 用一 个统计量或用概率来描述集合中两点间的“距离”比用一个确定的数更符合客 观 实 际 ． 正 是 由 于 社 会 生 产 和 人 们 生 活 对 数 学 这 一 新 的 要 求 , 1942 年 , K.Menger[1]用一个概率分布函数来表示抽象空间中两点间的距离, 这样的距离 具有随机性，一般我们称这样的“距离”为概率距离, 后来, 他利用概率度量建 立了一个新的函数空间, 称为概率度量空间(Probabilistic Metric Space, 简写为 PM-空间)． 概率度量空间的建立对一般的度量空间是一次很大推广, 是泛函分析的一 次突破性的进展, 所以, 很快成为国内外数学学者研究的重要对象, 1956 年, B.Schweizer 和 A.Sklar[2,3]开始在概率度量空间理论方面进行了合作性研究, 主要 研究了该空间中的拓扑结构, 1960 年, 他们正式提出了 t -范数(triangular norm) 的概念并利用 t -范数定义了 Menger 概率度量空间（简称为 Menger PM-空间）， 并指出具有连续 t -范数 Menger PM-空间是 Hausdorff-空间. 另外, 作为对线性赋 范空间的推广, 1962 年, A.N.Serstnev [4]建立了概率赋范线性空间(简称为 PN- 空间)的概念, 得到了 PN-空间若干性质和定理. 1983 年, B.Schweizer 与 A.Sklar[5] 出版了在该领域最有影响的专著《Probabilis