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汕 头 大 学 硕 士 学 位 论 文
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目 录
中文摘要 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
英文摘要 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
Ⅰ
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目 录 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
Ⅲ
第 1 章 引言 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
1
第 2 章 求解广义 Wick-型随机迁移方程 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥…
4
2.1 导出线性二阶变系数随机常微分方程的显解公式 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
5
2.2 GWSTE 存在唯一的泛函分离变量的连续解 ‥…‥…‥‥…‥…‥‥…
10
第 3 章 特例 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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3.1 行波解 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
15
3.2 正弦型函数解 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
16
3.3 反正切型函数解 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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3.4 对数函数解 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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第 4 章 结论 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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参考文献 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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致 谢 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
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第 1 章 引 言
随机模型在自然科学和工程科学的一些领域中起着重要的作用。它们可用于分析某 些物理现象、生物学和医学等所固有的变化性,处理影响管理决策的不确定性和心理学 与社会学相互影响的复杂性,并为其他的数学和统计研究提供了新视点、方法论、模型 和直观知识。
在决定性的分析中,要用一个专门的、很实际的要素来判断一个模型的有效性。一 些模型作为描述详细的行为量化规定是有用的, 例如, 库存模型是用于确定存储个体的 最优数量。此外,在不同环境中的所研究的模型或许仅提供影响一个事件的若干因素的 关系和相对重要性的一般定性信息。这类模型以一种同等重要却完全不同的方式上是有 用的。本文主要研究描述一些物理现象的广义 Wick-型随机迁移方程解的随机模型。
仅根据模型的最终用途来评价一个模型,经常涉及的如现实性,完美性,有效性及再 现性等属性是重要的。对描述一个给定现象的数学模型,不存在最优的。实用性的准则 经常允许相同的事件但服务于不同的目的,可以存在两个或更多个模型。比如考虑光, 对 设计镜片和望远镜镜头,波形模型完全适合,在这模型中,光被看作是连续流。相反地, 为理解光在视网膜上的影响,光子模型是首选的, 在这模型中,光被看作是微小的离散 的能量束。这两个模型不能彼此取代,他们彼此都有关联且很有用的。
科学的模型有三个组成部分:(i)研究的自然现象;(ii)演绎现象含意的逻辑系统; (iii)研究的自然系统同模拟它的逻辑系统之间的联系。现代的随机模拟的方法在本质上 是相似的。自然界不能说明关于“概率”的唯一的定义,同样地,几何中的“点”也没 有自然界强加的定义。“概率”和“点”是纯数学中的术语, 仅通过它们各自在公理中表 现的性质加以定义。然而,将数学概率理论的抽象元素同它所模拟的自然现象联系起来, 有三个重要的原则:(i)等概率结果的原则;(ii)长期相对频率的原则;(iii)获得差别或主 观可能性的原则。历史上,这三个概念源自根据物理实验定义概率的大量不成功的尝试。 今天,作为在一个模型中概率值的分配和根据研究的现象阐述模型的结论的指导方针, 他们是相关的,更具体的随机模型可参看文献[1-10]。
随机迁移方程是许多重要模型之一。它源于研究湍流媒介中物质的污染[1,11]、物质
的迁移[12,13],而应用之广已涉及到很多领域:除了物理学外,还有流体动力学[14]、环境 工程[15]、农业排水系统等问题[16],如它的求解结果可直接用来解释随机媒介里的中子迁 移[17],或用于预报、评估自然土壤及地下水受化学物的污染程度[18]。
下面就针对这种随机迁移方程模型进行概述。 在运动媒介中弥散的物质迁移可以建模为偏微分方程如下形式:
? ?U
?
= 1 σ 2
ΔU + V (t, x) ? ?U + K (t, x) ?U + g(t, x);
t 0, x ∈ R d
? ? t 2
(1.1)
??U (0, x) =
f (x)
; x ∈ R d
其中U (t, x) 表示物质在 t 时刻、点 x ∈ D 处的集中量, 1 σ 2 0 为常数表示弥散系数,
2
V (t, x) ∈ R d 是媒介的速度, K (t, x
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