关于某些三对角矩阵的研究-应用数学专业论文.docxVIP

山东 山东师范大学硕士学位论文 山东 山东师范大学硕士学位论文 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 中文摘要 三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵, 它在工程学, 医学和信号处理中有着广泛的应 用. 特别是在求解差分方程、微分方程以及延带微分方程时, 常常需要计算三对角矩阵 的幕和逆. 正是由于三对角矩阵的应用广泛, 近几年来, 三对角矩阵的性质引起了人们 相当大的研究兴趣. 本文主要研究两类复三对角矩阵的相关问题, 如矩阵的行列式、特 征值问题、幕的显示表达式等. 本文的主要内容安排如下: 第一章首先介绍了三对角矩阵的应用背景、国内外的研究现状. 其次, 给出了切比 雪夫多项式的定义、性质以及矩阵论中的相关知识, 为本文三对角矩阵性质的研究做好 铺垫. 最后介绍了本文的主要工作以及创新点和难点. 第二章提出了一种计算复三对角矩阵的行列式、特征多项式、特征值和特征向量的 新方法. 这种方法既不同于 Yueh 和 Willms 所用的半无限序列的符号演算方法, 也不同 于 Kouachi 采用的基于递推序列的方法, 而是将切比雪夫多项式和三对角矩阵的行列式 联系起来, 利用切比雪夫多项式的性质来计算三对角矩阵的行列式、特征多项式、特征 值和特征向量. 这一章考虑了两类三对角矩阵, 第一类是首末上下对角元变化的复三对 角矩阵, 第二类是首末主对角元变化而对应的上下对角元乘积为定值的复三对角矩阵. 通过计算这两类矩阵的行列式、特征多项式、特征值和特征向量, 本文将新方法完整地 呈现了出来. 第三章主要考虑了第二类复三对角矩阵. 首先通过构造变换矩阵的逆矩阵, 给出了 第二类复三对角矩阵的谱分解, 并对构造结果进行了证明. 然后根据谱分解计算了第二 类复三对角矩阵任意整数次幕和逆的显示表达式. 最后, 给出了第二类复三对角矩阵的 国对角化条件以及所构成的三对角矩阵族的一些性质并给予了证明. 第四章总结性地介绍了本文的主要思想方法和工作, 给出了一些建议性的想法. 关键词:三对角矩阵; 行列式; 特征值问题; 谱分解; 幕 分类号:O151.2 i Abstract Tridiagonal matrices are an important kind of special matrices with a wide range of applications in engineering, medicine and signal processing. In particular, solving difference equation, differential equation and delay differential equation, we often need to compute powers and inverse of tridiagonal matrices. Recently, people are interested in studying some properties of tridiagonal matrices because of their wide application. In this paper, we mainly study related problems of two kinds of complex tridiagonal matrices, such as determinant, eigenvalue problem, explicit powers and so on. The main content of this thesis is arranged as follows: In the first chapter, we first introduce research background of tridiagonal matrices, the present research situation of the topic at home and abroad. Then we give the definitions and properties of Chebyshev polynomials and some results in matrix theory, which are preliminaries for the study of the properties of tridiagonal matrices. Finally, we state the main work of this paper, innovative points and difficult points. In the second chapter, a new m