函数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用-理论物理专业论文.docxVIP

宁 宁 波 大 学 硕 士 学 位 论 文 万方数据 万方数据 独 创 性 说 明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得宁波大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名: 日期: 关于论文使用授权的声明 本人完全了解宁波大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (必威体育官网网址的论文在解密后应遵循此规定) 作者签名: 导师签名: 日期: III - 摘 要 物理学上许多的问题都可以被归结为数学模型。因此，寻找由数学模型带来的非 线性偏微分方程的精确解不仅在孤子理论中有着十分重要的地位,而且有助于我们加深 对物理学本质的认识。函数展开法在求解非线性偏微分方程中具有不可替代的作用， 其中推广的 tanh 函数展开法和相容的 Riccati 展开法是两种十分简捷有效的方法。本 文主要运用这两种方法来研究 Gardner 方程、(2+1) 维 Konopelchenko-Dubrovsky 方程 以及一类耦合 Boussinesq 型方程解的问题。 在 Gardner 方程的研究方面，本文首先简单地介绍了 Painlev′e 截断展开法和 tanh 函数展开法的基本思想和步骤，然后利用这两种方法得到了 Gardner 方程的解和相容 性条件方程，然后通过将解写成椭圆函数形式，对相容性条件方程进行求解，最终得 到了孤立子与椭圆周期解的相互作用。 在 Gardner 方程研究方面，本文首先简要地介绍了相容的 Riccati 展开法，并给出 了相容的 Riccati 展开可解性的概念，然后对 Gardner 方程应用相容的 Riccati 展开法 求得其解与相容性条件，求解相容性条件和利用椭圆函数的定义，得到 Gardner 方程 新的精确解以及一些具有特殊结构的解。 在(2+1) 维 Konopelchenko-Dubrovsky 方程研究中，本文运用相容的 Riccati 展开 法，先求得(2+1) 维 Konopelchenko-Dubrovsky 方程的解和相容性条件，然后通过对相 容性条件进行求解，观察到(2+1) 维 Konopelchenko-Dubrovsky 方程新的解之间存在着 具有周期性扭结的相互作用。 在一类耦合 Boussinesq 型系统研究中，本文同样运用相容的 Riccati 展开法，求得 一类耦合 Boussinesq 型系统的解和相容性条件，然后通过求解其相容性条件，得到一 类耦合 Boussinesq 型系统新的孤立波与其他非线性激发之间的相互作用。值得关注的 是，我们可以得到一类耦合 Boussinesq 型系统的正弦孤立波解结构，这主要是利用了 雅可比椭圆函数和第三类不完全可积椭圆积分。 关键词: 函数展开法，非线性偏微分方程，相互作用解 I - 函 函 数 展 开 法 在 求 解 非 线 性 偏 微 分 方 程 中 的 应 用 Function expansion method for Solving nonlinear partial di?erential equations Abstract Due to the rapid development of science and technology, many problems in physics can be summed up in mathematical model. As to the nonlinear partial di?erential equations of the mathematical model, searching for their exact solutions not only has a very important position in the theory of solitons, but also help us to deepen our understanding of the essence of physics. In solving nonlinear partial di?erential equation, function expansion method has an irreplaceable role, among them, the generalized tanh function expa