含有多项式迹形式的semi-bent函数的构造应用数学专业论文.docxVIP

南京 南京航空航天大学硕士学位论文 含有 含有多项式迹形式的 semi-bent 函数的构造 I I PAGE PAGE IV 摘 要 Semi-bent 函数由于所具有的良好性质而被广泛的研究，但是，在当前的数学发展水平下对 semi-bent 函数进行分类是很困难的.因此，为了更好的了解 semi-bent 函数，找出构造方法就显 得尤为重要了.国内外的许多学者在此类函数的研究方面都取得了一定的成果，并且已经得出一 1条结论：几乎所有的 semi-bent 函数都是通过选择合适的 d 的幂多项式 Trn (xd 1 ) 导出的.本文所 要构造的 semi-bent 函数也是由这类幂多项式导出的.本文主要从以下几个方面展开. n 设  (r ,s) n r (2m ?1) 4 2 ?1 5 (2m ?1) 1 ?1 n 2 n (2m ?1)s?1 ga,b,c,d (x) ??Tr1 (ax ) ??Tr1 (bx ) ??Tr1 (cx ) ??Tr1 (dx ) 是有 F限域 上 的 布 尔 函 数 ， 其 中 F 2n n ??2m 满足 m ??2 ( m o d ，4 ) r 是 一 个 正 整 数 且 s ?{0,1/ 4,1/ 6,3}， a ??F* ,b ??F* , c ??F 及 d ??F ，本文将借助于 Walsh 变换来讨论函数 2n 16 2n 2 (r ,s) F 的极分解的唯一性定理以及其他的一些定 ga,b,c,d (x) 是 semi-bent 函数的情形.通过有限域 2n 理 ， 我 们 又 可 以 将 上 述 情 况 转 化 为 讨 论 有 限 域 上 的 布 尔 函 数 F2n F (r ) 2n ?1 n r (2m ?1) 4 5 ??F* b ??F* 在循环群 F* x2 ?1 fa,b (x) ??Tr1 (ax ) ??Tr1 (bx ) ， a 2n , 16 U ??{x ? 2n | ??1}上特 m征和为 1 的情况.具体情形分为以下三点： m （1）若 r ??1，则 ????( fa,b (u)) ??1成立时系数 a, b 所要满足的条件. (1)u?U (1) ? a,b （2）若 r ??5 ，则 ??( f (5) (u)) ??1成立时系数 a, b 所要满足的条件. (r ) u (r ) （3）当 ?r ????时，则 ? ??( fa,b (u)) ??1成立时系数 a, b 所要满足的条件. u?U 对 (r ,s) n r (2m ?1) 2 2n ?1 3 (2m ?1) 1 ?1 n 2 n (2m ?1)s?1 ga,b,c,d (x) ??Tr1 (ax ) ??Tr1 (bx ) ??Tr1 (cx ) ??Tr1 (dx ) 其中 n ??2m 且 m 为奇数，r 是一个正整数且 s ?{0,1 4,1 6,3}，a ??F* ,b ??F* , c ??F 及 d ??F 是 2n 4 2n 2 semi-bent 函数的情形作进一步的推广，使得文献[19]所得的结论适用于 ?r ????. U U ??{x ??F* | x2 ?1 ??1} 3. 上述两个问题的研究都要借助于循环群 上的一些特殊的指 2n 数和：Kloosterman 和，Weil 和以及 cubic 和等.并且我们要讨论的上述关于系数 a 所要满足的 条件实质上指的是 a 的几个特殊的指数和所要满足的条件. 关键词 布尔函数，semi-bent 函数，Walsh-Hadamard 转换，Kloosterman 和，Cubic 和，Weil 和， Dickson 多项式. Abstract Semi-bent functions have been widely studied for their superior properties. But, it is difficult to give a precise classification of semi-bent functions under the current development level of the Mathematics. Hence, the most important thing for us to study the semi-bent functions is to look for the methods to construct them. Many researchers have made a success in