数列中简易数论问题的研究.docVIP

专题：数列中简易数论问题的研究 一、问题提出 问题1：设是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若， ，则中数字0的个数为 . 7 问题2：已知是正整数，，，若成等差数列，成等比数列，则这四数依次为 . 问题3：已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中 都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得 成立，则 .. 问题4：一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为 . 问题5：设等比数列其中是整数，试问数列中存在三项构成等差数列吗？ 二、思考探究 探究1：设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列. （1）若，是否存在，使？ （2）数列中，若，公比，且，仍是中的项，则 . （3）满足试证明任给,总存在使成等比数列. 探究2：已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。 （1）若，是否存在，有说明理由； （2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由. 探究3： 从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列． （1）若，，成等比数列，求其公比． （2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由． 探究4：设数列，对任意都有，(其中、、是常数) （1）当，，时，求； （2）当，，时，若，，求数列的通项公式； （3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. 当，，时，设是数列的前项和，，试问是否存在封闭数列，对任意，且都有, 若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由 解：（1）当，，时，， ① 用去代得，， ② ②-①得，，， 在①中令得，，则0，∴， 数列是以首项为1，公比为3的等比数列，∴= （2）当，，时，， ③ 用去代得，， ④ ④-③得， ， ⑤ 用去代得，， ⑥ ⑥-⑤得，，即， ∴数列是等差数列 ∵，，∴公差，∴ （3）由（2）知数列是等差数列，∵，∴。 又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 ，得，故是偶数， 又由已知，，故 一方面，当时，，对任意，都有 另一方面，当时，，， 则， 取，则，不合题意 当时，，，则 ， 当时，，， ， 又，∴或或或 三、真题链接 1.（2009年江苏高考题）设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ____ . 2.（2014年江苏高考题）设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”. （1）若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”; （2）设是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值； （3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立. (1) 证明：由已知，当时，，于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，所以是“H数列”. (2) 解法一（官方解答）：由已知，得，因为是“H数列”，所以存在正整 数m，使得， 即，于是. 因为，所以，故，从而. 当时，，是小于2的整数，. 于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得， 所以是“H数列”，因此的值为. 解法二：由是首项为1的等差数列，则，， 又数列是“H数列”，不妨取时，存在满足条件的正整数， 使得，即， （i）当时，此时，不符合题意，应舍去； （ii）当时，不存在满足条件的； （iii）当时，. 此时数列的通项公式为， 下面我们一起来验证为“H数列”: ；，此时，容易验证为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设；又等差数列的前n项和； 由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，（*）； 那么随着的变化而变化，可设满足函数关系式. 又，那么要使（*）对任意自然数恒成立，则； 代入得：，即有； 又当时，，即，由此可以解得. 此时. （江苏苏州 王耀） 解法四：，所以，由题意得，所以，即. 对于任意的，存在使得， 即， 化简可得.（*） 当时，此时不是整数，此时（*）式不满足； 当时，此时，而， 所以恒成立，不对恒成立，所以. （江苏兴化 顾卫） 解法五：由是首项为1的等差数列，且数列是“H数列”， 则，又，所以，则，从而， 此时，，由得，为正整数， 从而数列是“H数列”. （江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列的公差为， 则. 令，则. 下证是“H数列”. 设的前n项和为，则， 于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，所以是“H数列”. 同理可证也是“H数列”. 所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列” 和，使得成立. 解法二：