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第12章 差错控制编码 12.1 概述 产生错码的原因： 乘性干扰引起的码间串扰，由均衡的办法纠正； 加性干扰引起的信噪比降低，由信道编码改善； 按照加性干扰造成错码的分布规律对信道分类： 随机信道：错码随机出现，例如由白噪声引起的错码； 突发信道：错码相对集中出现，例如脉冲干扰； 混合信道：既有随机错码，又有突发错码； 12.2 差错控制编码的基本原理 12.2.1 纠错编码的基本原理 12.2.1 纠错编码的基本原理 12.2.2 纠错编码的基本概念 12.2.2 纠错编码的基本概念 分组码 ＝ 信息位 ＋ 监督位，分组码符号：(n, k) 分组码序列的参数 n － 编码序列中总码元数量； k － 编码序列中信息码元数量； r － 编码序列中监督码元数量； k/n － 码率； (n - k)/k = r/k － 冗余度； 12.2.2 纠错编码的基本概念 12.2.2 纠错编码的基本概念 检测e个错码： 12.2.2 纠错编码的基本概念 纠正t个错码： 12.2.2 纠错编码的基本概念 纠正t个错码，同时检测e个错误： 12.2.2 纠错编码的基本概念 12.3 常用的简单编码 奇偶监督码 ：分为奇监督码和偶监督码两类。 在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)。 偶监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数： 式中，a0为监督位，其他位为信息位。 奇监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数： 12.3 常用的简单编码 12.3 常用的简单编码 循环码的一种，12.5节将介绍循环码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 12.4 线性分组码 附：关于监督矩阵和生成矩阵的总结说明 附：关于监督矩阵和生成矩阵的总结说明 12.5 循环码 12.5 循环码 12.5 循环码 12.5.1 循环码的基本原理 12.5.1 循环码的基本原理 12.5.1 循环码的基本原理 12.5.1 循环码的基本原理 12.5.1 循环码的基本原理 12.5.1 循环码的基本原理 附：矢量线性相关的定义 12.5.1 循环码的基本原理 循环码的多项式表示法： 一个长度为n的码组(an-1 an-2 …a0)可以表示成： 【注】：式中x 的值没有任何意义，仅用它的幂代表码元的位置。 例：码组1 1 0 0 1 0 1可以表示为： 12.5.1 循环码的基本原理 码多项式的按模运算： 若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即： 例如： 循环码生成矩阵G的构造： 循环码中，一个(n, k)码有2k个不同的码组。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码组，则g(x)，xg(x)，x2g(x)，?，xk-1 g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G： 循环码生成矩阵G的构造举例 上表中的编码为(7, 3)循环码，n = 7, k = 3, n – k = 4，其中唯一的一个(n – k) = 4次码多项式代表的码组是第二码组0010111，与它对应的码多项式，即生成多项式，为： 0000 0111 1110 1001 a3 a2 a1 a0 监督位 000 001 010 011 a6 a5 a4 信息位 监督位 信息位 100 101 110 111 a6 a5 a4 5 6 7 8 码组编号 1 2 3 4 码组编号 a3 a2 a1 a0 1011 1100 0101 0010 生成矩阵G： 或 所有码多项式T(x)都能够被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k – 1)的多项式乘g(x)都是码多项式。 非典型阵 循环码生成矩阵G的构造举例 生成矩阵G： 或 非典型阵 画成典型生成矩阵G： 循环码生成矩阵G的构造举例 生成多项式g(x)的补充说明 在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k位均为“0”的码组，否则，在经过若干次循环移位后将得到k位信息位全为“0”，但监督位不全为“0”的一个码组。这在线性码中显然是不可能的。因此，g(x)必须是一个常数项不为“0”的(n - k)次多项式 ； g(x)还是这种(n, k)码中次数为(n – k)的唯一一个多项式。因为如果有两个，则由