第二章控制系统的数学模型二.ppt

重庆邮电大学自动化学院 §2.2 控制系统的复数域数学模型 传递函数是在复数域描述系统的一种数学模型。是以参数来表示系统结构的，因此又称为系统的参数模型。 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。 拉氏变换及其应用（补充） 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件， 可以定义其拉氏变换为 其中： f(t) ?变换原函数 F(s) ?变换象函数 s=? + j ? ?复自变量 又常写为 拉氏变换将时间函数f(t)变换为复频域函数F(s) 。 二、常用信号的拉氏变换 （1）单位脉冲信号 数学表达式 时间波形 令 所以 单位脉冲信号的说明： 1）单位脉冲信号的面积： 2）关于拉氏变换的积分下限 。0-，0，0+ 3）理想脉冲信号与实际脉冲信号。 （2）单位阶跃信号 数学表达式 时间波形 由拉氏变换定义式 单位阶跃信号的导数 （3）单位斜坡信号 数学表达式 时间波形 由分部积分公式 （4）指数信号 数学表达式 时间波形 拉氏变换为 （5）正弦、余弦信号 由于 所以 由尤拉公式 所以有 则 常见时间信号的拉氏变换可以参见表2－1。 三、拉氏变换的一些基本定理 （1）线性定理 若函数分别有其拉氏变换： f1(t) ? F1(s) ，f2(t) ? F2(s)， 则 L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) （2）延迟定理 若有 f(t) ? F(s) 则 L[f(t-?)]=e-?s F(s) 例2－8 周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉氏变换。 由延迟定理对于周期信号有 第1周期的拉氏变换为 所以有 （3）衰减定理 若有 f(t) ? F(s) 则 与延迟定理是对偶的 例2－9 试求函数 的拉氏变换。 已知 由衰减定理直接得到 （4）微分定理 若有 f(t) ? F(s)，且f(t)的各阶导数存在， 则f(t) 各阶导数的拉氏变换为： …… 当各阶导数的初值均为零时 有 （5）积分定理 若有 f(t) ? F(s)， 则有 积分为微分的逆运算，则积分定理为微分定理 的对偶定理 （6）初值定理 若有 f(t) ? F(s)，且在t=0+处有初值f(t0+)， 则 时域函数f(t)的初值可以由s域函数F(s)得到。 （7）终值定理 若有 f(t) ? F(s)，且f(∞)存在， 则 时域函数f(t)的终值可以由s域函数F(s)得到。 （8）卷积定理 若函数分别有其拉氏变换： f1(t) ? F1(s) ，f2(t) ? F2(s)， 时域函数的卷积分为 或者 则 拉氏变换的优点： 1、简化函数 2、简化运算 3、变换微分方程为代数方程 四、拉氏反变换 拉氏变换： 已知 f(t) ? 求 F(s) 逆运算： 已知 F(s) ? 求 f(t) 计算公式： 方法： 部分分式法 已知： 拉氏反变换为： 其中：si 为F(s)的极点。 ai 为F(s)对应于极点si的留数。 下面分别讨论各种计算情况。 1、A(s)=0全部为单根，s1,s2,…,sn 例2－10已知 ，求拉氏反变换F(s)。 解： 极点为：s1=-2，s2=-3， 对应极点的留数为 ： F(s)为： 2、A(s)=0 有重根 设s1为单根，s2为m重根，m+1=n， F(s)可以展开为 单根系数C1计算如前。由留数定理计算重根各 系数如下 …… 拉氏反变换为 例2－11求 的拉氏反变换f(t)。 解：F(s)分解 单根项系数：s1=0，s2=-3 重根项系数： s3=-1，2重 得到： f(t)为： 3、A(s)=0 有共轭复数根 不要作单根分解，计算复杂，阅读教材内容。 例2－12 已知 ，试求其f(t) 解：分解 1、分离常数项 2、余式二次三项式整理 由于 所以 五、拉氏变换法求解微分方程 拉氏变换法求解微分方程步骤如下： 1、方程两边作拉氏变换； 2、代入初始条件和输入信号； 3、写出输出量的拉氏变换； 4、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。 例2－13 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，电容的初始电压Uc(0)分别为0V和1V时，分别求时间解Uc(t)。 解 微分方程为 作拉氏变换 由线性定理得 由微分定理得 将RC=10K，C=10μF， Ui(s)=5/s 代入整理得到 输出的拉氏变换为 （1）Uc(0)=0V时 （