学习数学要抓住问题的核心.pdf

本文由 SCIbird 排版整理 抓住问题的核心 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 原本打算以“抓住问题的本质”为标题的，但再三斟酌之后觉得不妥，还 是换成“抓住问题的核心”这个标题吧。比如，虽然可以用非常漂亮的分析方 法来证明布劳威尔不动点定理，但是要想讨论不动点定理的本质，肯定要将讨 论框架扩展到拓扑领域。尽管如此，这个漂亮分析证明仍然值得推荐！ 布劳威尔不动点定理： 设Dn 是n 维单位闭球， f : Dn →Dn 是连续映射，则存在x0 ∈Dn ，满足 f (x ) =x . 0 0 在布劳威尔不动点定理的条件中，单位闭球Dn 的凸性非常重要。比如把Dn 换成单位球面 Sn ，则结论不再成立。反例是映射 f (x) =−x , 显然映射 f : Sn →Sn 是连续映射，但没有不动点。 《数学分析新讲》第三册给出了布劳威尔不动点定理的解析证明。证明的 核心思想在于下面这张图 如果布劳威尔不动点定理不成立，那么可以做出一个映射g : Dn →Sn−1 满 足g(x) =x , x ∈Sn−1 . 这样的连续映射g 称为收缩映射，Sn−1 称为Dn 的收缩核。 然后证明这样的收缩核实际上不存在，从而不动点定理为真。 为利用分析工具，先假设f 为光滑映射。反证假设f 没有不动点，于是构造 出光滑的收缩映射g : Dn →Sn−1 . 接着利用外微分中的 Stokes 公式证明这个光 本文由 SCIbird 排版整理 滑收缩映射g 是不存在的。证明方法是计算两次思想，即对同一个对象用两种不 同的方法计算，结果应该是一样的。否则，即产生矛盾。 设g =(g , g , L, g ) ，构造微分形式ω=g dg ∧L∧dg . 1 2 n 1 2 n 一方面，g(x) =x ∈Sn−1 =∂Dn , 所以|| g (x ) || =1 , ∀x ∈Sn−1 ，从而 ω= dω= d(g dg ∧L∧dg ) ∫∂Dn ∫Dn ∫Dn 1 2 n ( , L, ) ∂ g1 gn L 0 = dx ∧ ∧dx = ∫Dn ( , , ) 1 n ∂ x L x 1 n 另一方面，由g(x) =x , x ∈Sn−1 ，直接代入，得到 n ω= dω= dx ∧L∧dx =vol(D ) 0 ∫∂Dn ∫Dn ∫Dn 1 n 这就证明了不存在光滑的收缩映射g : Dn →Sn−