2.1.1椭圆的定义与标准方程.pptVIP

第2章　椭圆、双曲线、抛物线 我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 为圆的方程． 为直线的方程，二元二次方程 方程 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线． 第2章　椭圆、双曲线、抛物线 2.1　椭圆 初识椭圆 2.1　椭圆 先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 和 两点， 并使绳长大于 和 的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 和 的距离之和始终保持不变 （等于这条绳子的长度）． 的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距． 我们将平面内与两个定点 的距离之和为常数（大于 ） 实验中画出的图形就是椭圆． 下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程． 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 的距离之和为2a（a＞0）， 则 的坐标分别为（－c，0）,（c，0）， 由条件 得 移项得 两边平方得 整理得 两边平方后，整理得 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0， 所以 设 则 等式两边同时除以 得 设 ， 不仅使得方程变得 简单规整，同时在后 面讨论椭圆的集 合性质时，还会看 到它有明确的几何 意义． 方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程． （2.1） 并且 它所表示的椭圆的焦点是 方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程． （2.2） 它所表示的椭圆的焦点是 想一想　 已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ 如果取过焦点F1,F2的直线为y轴，线段F1F2的 垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系（如图）， 用类似的方法可以得到椭圆的方程为： 例1　已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的 点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程． 解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 即 想一想　 将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？ 例2　求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 分析 　解题关键是判断椭圆的焦点在哪个数轴．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．