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第一章:统计案例
回归分析的基本思想及其初步应用
实例 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高/cm和体重/kg数据如下表所示:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
165
165
157
170
175
165
155
170
体重
48
57
50
54
64
61
43
59
问题:画出散点图,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此 选 自变量x, 为因变量.
(1)做散点图:
从散点图可以看出 和 有比较好的
相关关系.
(2) = =
所以
于是得到回归直线的方程为
(3)身高为172cm
新知:用相关系数r可衡量两个变量之间 关系.计算公式为
r =
r0, 相关, r0 相关;
相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系 ,它们的散点图越接近 ;
,两个变量有 关系.
例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表:
学生
学科
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
75
64
62
物理成绩(y)
78
65
70
62
60
画散点图;
求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;
该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;
练习1:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值)
当堂检测
1. 下列两个变量具有相关关系的是( )
A. 正方体的体积与边长
B. 人的身高与视力
C.人的身高与体重
D.匀速直线运动中的位移与时间
2. 在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( )
A. 预报变量在x 轴上,解释变量在 y 轴上
B. 解释变量在x 轴上,预报变量在 y 轴上
C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上
D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上
3. 回归直线必过( )
A. B. C. D.
4.越接近于1,两个变量的线性相关关系 .
5. 已知回归直线方程,则时,y的估计值为 .
6、一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果:
转速x (转/秒)
16
14
12
8
有缺点零件数 y (件)
11
9
8
5
(1)画散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制
在什么范围内?
相关指数:表示 对 的贡献,公式为:
的值越大,说明残差平方和 ,说明模型拟合效果 .
残差分析:通过
来判断拟合效果.通常借助 图实现.
残差图:横坐标表示 ,纵坐标表示 .
残差点比较均匀地落在 的区的区域中,说明选用的模型 ,
带状区域的宽度越 ,说明拟合精度越 ,回归方程的预报精度越
例1关于与y有如下数据:
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
为了对、y两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:,,试比较哪一个模型拟合的效果更好?
例2 假定小麦基本苗数x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系,今测得5组数据如下:
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)画散点图;
(2)求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数;
(3)求,并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几
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