空间几何中的向量方法.docVIP

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 空间向量的坐标运算 若，，则 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 例1 已知求的坐标. 2.若则 练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，求向量的坐标. 空间直角坐标系中平面法向量的求法 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。 已知求平面ABC的法向量。 解：设，则由得即 不妨设，得， 取 2.矢量积公式 其中行列式法向量取与向量共线的即可。 用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写 蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算就是向量的坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算，作为的坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算作为坐标，所以，可以取，它与前面方程法求得的是共线向量。 优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。 已知,,，试求平面ABC的一个法向量. 练习：已知平面经过三点试求平面的一个法向量. 第二讲：立体几何的向量方法-------平行与垂直 平行 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 线线平行：__________________________; 线面平行：__________________________; 面面平行：__________________________; 例1：四棱锥，底面是正方形，底面，，是PC 的中点，求证：. 垂直 线线垂直 设直线的方向向量分别为，设直线的方向向量分别为，则______________________________________ 2、线面垂直 设直线的方向向量分别为，设平面的法向量分别为，则_________________________ 3、面面垂直 设平面的法向量分别为，设平面的法向量分别为，则______________________________________ （一）证明线线垂直 例2：已知正三棱柱的各棱长都为1，M 是底面上BC 边上的中点，N是侧棱上的点，且，求证：. 变式1：已知正三棱柱的各棱长都为1，若侧棱的中点D，求证：. （二）证明线面垂直 例2：如图所示，在正方体中，O为AC与BD 的交点，G为的中点，求证：. 变式训练2： 如图所示，在正方体中， （三）证明面面垂直 例3：在四面体ABCD中， AC、AD的中点，求证：平面. 变式训练3：在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是三角形PAB 的重心，E、F分别是BC、PB上的点，且BE：FB=1:2，求证：平面. 第三讲： 立体几何的向量方法---角度 空间向量三种角的向量求解方法 异面直线所成的角：设异面直线的方向向量分别为和，则与夹角满足____________，其中的范围是______________. 线面角：设直线的方向向量为和平面的法向量为，则直线与平面的夹角满足__________________，其中的范围是______________. 二面角：设平面的法向量为，设平面的法向量为，则平面与平面所成二面角满足__________________，其中的范围是______________. 典型例题 例1：在中，，现将沿着平面的法向量平移到的位置，已知，取、的中点、，求与所成角的余弦值. 练习1：正方体的棱长为1，求与面所成角的余弦值. 例3. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD，PD=DC，E 是PC 的中点，作求二面角C-PB-D 的大小. 练习2：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，, (1)证明： (2)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. 练习3：在四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形， 分别是AD，PC的中点. (1)证明： (2)求平面BEF与平面BAP的夹角大小. 第四讲： 立体几何的向量方法---距离 (1) 点面距离的向量公式 平面的法向量为，点P是平面外的一点，点A为平面内的一点，则点P到平面的距离等于__________________; (2) 线面、面面距离的向量公式 平面直线，平面的方向量为，，平面与直线间 的距离就是在向量方向射影的绝对值，即__________________; (3) 异面直线的距离向量公式 设向量与异面直线都垂直，，则两异面直线间的距离就是在向量方向射影的绝对值，