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高数论文 10物本常杰 101180141028 求数列极限的方法总结 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为. 例1: 按定义证明. 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n,则让n即可, 存在N=[],当nN时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n成立, 所以. 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求,其中. 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 , 原式=, 3. 利用夹逼性定理求极限 若存在正整数N,当nN时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有. 例3:求{}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有 , 而,,由夹逼性定理得 . 4．换元法 通过换元将复杂的极限化为简单. 例4.求极限，此时 解：若　有　，令 则 5.单调有界原理 例5.证明数列有极限，并求其极限。 证：　令 ，易知｛｝递增，且 我们用归纳法证明　≤2. 　显然。 若≤２　则。 故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在　 中两边取极限得　 　　即　解之得　=２　或　=-１　明显不合要求，舍去， 从而　　　 6.先用数学归纳法,再求极限. 例6:求极限 解: S= 设= 则有S S2=S*SS*= 而,再由夹逼性定理,得 =0 7.利用两个重要极限,. 例7:求 解: 原式= 8.利用等价无穷小来求极限 将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限. 例8:求 解:当的时候,,. 而此时,,所以 原式= 9.用洛必达法则求极限.适用于 例9:求 解: 是待定型. = 10.积分的定义及性质 例10:求 解: = 设,则在[0,1]内连续, 所以, 所以原式= 11.级数收敛的必要条件. 设据必要条件知所求表达式的极限为0. 例11:求 解:设,则 所以该级数收敛,所以=0 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。 例12. 求 解： 法一：原式= 法二：原式= 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。 例13：求的值 解：奇数列为=0 偶数列为=0 所以=0 14．利于泰勒展开式求极限。 例14.求 解：原式=(令t=) === 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。 例15：求的值 解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以 还是无穷小量，即 =0 16.利用数列的几何、算术平均值求极限。 数列{}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。 例16：求的值 解：== 设=，因为知=1 所以，所求原式的极限就等于{}的极限 即原式== 17.绝对值中的极限