IOI国家集训队2006论文集.doc

2006年全国信息学冬令营讲座` 国家集训队2006论文集(三) 周戈林 周以苏 朱晨光 朱泽园 浅谈类比思想 长沙市长郡中学周戈林 【目录】 摘要 2 关键字 2 正文 2 引言 2 常见的类比模式 3 具体事物类比抽象模型 3 相似算法之间的类比 6 图形类比数式 8 总结 10 感谢 10 参考文献 10 附录 11 【摘要】 信息学是一门变幻莫测的艺术，它包含着海量的知识点。我们不能奢求掌握所有的知识，只能在已有知识的基础上，尽可能的把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。类比思想，就是一种非常优秀的转化方法。本文尝试诠释一些常用的类比模式。 【关键字】 类比思想 模型 算法 理性认识 【正文】 一、引言： 类比是最有创造力的一种思维方法。它关注两个对象在某些方面的相同或相似，从而推测它们在其它方面也可能存在相同或相似之处。举例来说，我们在小学一年级学到正确的握铅笔方法是“笔杆放在拇指、食指和中指的三个指梢之间。食指在前，拇指在左后，中指在右下，食指应较拇指低些，手指尖应距笔尖约3厘米。笔杆与作业本保持六十度的倾斜，掌心虚圆，指关节略弯曲”。学会了握铅笔，那么在三年级也可以用类似的方法使用钢笔书写。概括一下，这次握笔类比的形式为： 对象A具有性质P、Q； 对象A’具有性质P’（P与P’类似）； 对象A’可能具有性质Q’（Q与Q’类似）。 拿握笔来说，铅笔（对象A）笔杆比较细（性质P），所以我们采用上述“笔杆放在三个指梢之间”的方法握笔（性质Q）；而钢笔（对象A’）笔杆也比较细（性质P’），所以我们采用同样的方法握笔（性质Q’）。很幸运，这次类比是正确的，我们成功地学会了写字。 但有些时候就没那么幸运了，譬如说，当面对一支毛笔时，以上的握笔方法写出的字就会产生相当的幽默效果。为什么我们的握笔方法面对毛笔失败了呢？这是因为毛笔是软笔，并且笔杆粗细不同，因此类比失败了。正确的握毛笔方法是用拇指和食指捏住笔的上端，用中指和无名指活动笔的下端，小指随无名指自然活动。概括这次握笔方法的转换，就是： 对象A具有性质P、Q和关系R； 对象A’具有性质P’； 对象A’具有性质Q’和关系R’。 具体到握毛笔这个例子，铅笔（对象A）是笔（性质P），并且是硬笔（关系R），需要用三根手指托笔（性质Q）。而毛笔同样是笔（性质P’），但却是软笔（关系R’），只需要两根手指夹笔（性质Q’）。这种类比形式考虑到了性质之间的关系，因此准确性提高了。 总结一下对握笔的研究：第一次握笔类比关键在于铅笔和钢笔恰好都是硬笔，因此其成功具有偶然性，它是基于直观上的感性认识，称之为简单类比；第二次握笔类比注意到铅笔与毛笔的不同点，其成功带有某种必然性，它是基于逻辑上的理性认识，称之为科学类比。在信息学竞赛中需要的类比，往往是科学类比。 下文将试图论述一些常见的类比模式：具体事物类比抽象模型；相似算法之间的类比；图形类比数式。 二、常见的类比模式： 2.1具体事物类比抽象模型： 这是一种最常见的类比。现实事物不是严格的数学模型，在研究它们的过程中必须根据需要提炼相应的数学模型，否则便失去了建模的意义。在建模中要联想具体事物的固有属性和抽象模型的独有特点，才能恰如其分地建立模型和解决问题。 举例来说：研究地球的公转可以把地球看成质点，这是因为相对于公转半径来说地球半径极其微小，可以忽略。但是研究地球的自转时又不能忽略地球半径，这是因为地球半径比起质点来又远远大得多了。 从下面这个例子也可以看到，建模的角度不同，效果便截然不同。 例一：山顶问题 题目描述 奶牛成群、土地众多的FJ有一个地形狭长的农场，农场被分成了n块土地，n不超过1000。这些土地位于一条直线上，并从左到右编号为1至n。每块土地的面积都相同，但是高度不一定相同。每块土地都拥有一个海拔高度值，这个值不超过1000000。如果一段相同高度土地的两边都比它低或者是农场的边界，那么这段土地将被称之为“山顶”。FJ希望通过搬走泥土来降低某些土地的海拔高度，使“山顶”的数目不超过k，其中1≤k≤25。在这一前提下，FJ希望搬运的泥土体积最小，也就是所有的土地减少的高度和最小。 解法分析 题目中要求了一个很奇怪的“削平山顶”的任务。一个或几个“山顶”往往由一个“山脊”支撑。值得注意的是，“山顶”被削平后有可能会使“山脊”变成“山顶”。 从解题的一般感觉上看，这似乎是一道动态规划的题目，尝试着用动态规划来解这道题目。根据一般的状态设计方法，我们用f(i,j)表示前i块土地留j个“山顶”的需要搬走泥土的最小体积。但是光用这两个值无法完全描述出当前土地的高度，因此也无法得知它们对以后状态的影响。为