二维随机变量的分布函数、边缘分布.pptVIP

二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问: 二者之间有什么关系呢? 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8, P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8, P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8. 注意这两个分布正好是 表的行和与列和. 四、边缘分布 如下表所示 我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词. 联合分布与边缘分布的关系 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 对任意r.v (X,Y)， X和Y的联合分布函数为 则(X,Y)关于X的边缘分布函数为 (X,Y)关于Y的边缘分布函数为 一般，对离散型 r.v ( X,Y )， 则(X,Y)关于X的边缘概率函数为 (X,Y)关于Y 的边缘概率函数为 X和Y 的联合概率函数为 对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为 ( X,Y )关于Y的边缘概率密度为 例5 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数. 解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 求(X, Y ) 的联合分布律和边缘分布律. 则（X，Y）的所有可能取值为 (0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2) 同理有 故联合分布律与边缘分布律为 0 1 0 1 2 3/15 6/15 1/15 3/15 2/15 0 X Y pi? p? j 1/3 2/3 1 6/15 8/15 1/15 * * §3.1二维随机变量的分布函数、边缘分布 从本讲起，我们开始第三章的学习. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等. 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . 一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数 X的分布函数 一维随机变量X 表示 与的 积事件 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率. (x, y) x y 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y ① x y x y 固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 对每个变量单调不减 ② 对每个变量右连续 ③ F (x, y1) ? F (x, y2) F (x1,y) ? F (x2, y) F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1) ? 0 事实上 对于任意x1 x2 , y1 y2 ④ x1 x2 y1 y2 F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1) 二、二维离散型随 机