导数在不等式中的应用.docVIP

PAGE PAGE 102 4.7 导数在不等式证明中的应用 一、利用单调性证明不等式 单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。 例1. 设，证明 ． 分析: 证1: 设 ， 则 ， ，当时，， 故单调减小． 从而，当 时，， 单调增加．， 即，故不等式成立. 注：有时需要多次使用导数符号判断单调性. 证2 分析: ， ， 从而，，即： 注：综合使用中值定理和单调性. 例2 证明 . 分析： 证 令 则 从而 在单调减少， 当时， 即 . 二、 利用中值定理证明不等式 1、利用Lagrange中值定理证明不等式 设在上连续，在内可导，则有 于是，我们依据关于的，得到不等式. 如： （1） （2）单调， （3）如果 例3 证明：当时， 分析： 证 注意到，故可将不等式组变形为 对函数在上利用拉格朗日中值定理，于是，存在,使 由于故，即 2、利用柯西中值定理证明不等式 设在上连续，在内可导，且则存在，使得 如果，则可建立相应不等式. 例4 设当，证明：当， (4.7.1) 分析： = 证 当时，式(4.7.1)的等号成立. 当时，有由柯西中值定理知，存在，使得 考虑到故单调增加，有 综上可知，当时，式(4.7.1)成立. 3、 利用泰勒中值定理证明不等式 由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式. 例5设函数的二阶导数且证明 解 由于函数且具有一阶导数且故得， 利用函数一阶马克劳林公式： 其中ξ介于x与0之间， . 所以 例6 设函数在上二阶可导，，且.试证 证 注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数在点处用一阶泰勒公式： 分别将代入上式, 注意到,两式相减，整理得到 因此， 三、 利用凹凸性证明不等式 曲线的凹凸性反映的也是不等关系： 或 如果可以从的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立. 例7 证明 当时， 证 设函数，则 因此当的图形是凹的.根据定义，有 例8 证明当时，有 证 设，有 则曲线在内是凸的. 又,所以当时，点 和所连的弦在曲线的下方，即，从而 四、 利用最值证明不等式 最值关系本身也是不等关系，因此要证明或 ,则只需证明 例9 证明 证 令,显然在上连续，故在上有最大值，最小值. 又由于令,得驻点，另有区间端点,比较 得的最大值,最小值因此，当时， 例10 证明 证 令由 得惟一驻点x=1. 又，当时单调减少； 当时，单调增加. 因此，函数在点处取得最小值，最小值为,所以当时，有 ， 即 4.8* 组合恒等式与相关变化率