高等数学 空间曲面和曲线.pptVIP

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹. 曲面方程的定义： 8.3 空间曲面和曲线 8.3.1 空间曲面方程 (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程； (1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； 如果曲面 与三元方程 有下述关系： 而曲面 S 称为方程的图形. 那么, 方程 就称为曲面S 的方程, 解 由题意，有 所求方程为 特别地, 球心在原点的球面方程为 即 设 是球面上任一点， 例1 建立球心在点 半径为 R 的球面方程. 球面的一般方程为 经配方, 可化为球面的标准方程. 例如 配方后得 例如 与 分别表示上、下半球面. 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线. 称为旋转曲面. 旋转一周所成的曲面, 为方便, 常把曲线所在 一条平面曲线 母线 轴 作坐标轴. 平面取作坐标面, 旋转轴取 将 代入 得所求方程为 现求 yOz 坐标面上的已知曲线 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程. (2) 点 M到 z轴的距离 xOz 坐标面上的已知曲线 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 同理：yOz 坐标面上的已知曲线 解 圆锥面方程 所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. 称为 试建立顶点在坐标原点O, 旋 半顶角为 的 圆锥面的方程. 转轴为z轴, 面上直线方程为 例2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周 圆锥面的方程也可写成 圆锥面的几种常用形式 与 分别表示开口朝上与朝下的半锥面. 旋转椭球面 旋转抛物面 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成 的旋转曲面的方程． (1) yoz面上的椭圆 绕y 轴和z 轴; (2) yoz 面上的抛物线 绕z 轴; 绕y 轴旋转 绕z 轴旋转 定义 平行于定直线并沿定曲线C 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线. 所形成的曲面称为柱面. 移动的直线L 准线 母线 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征： (其他类推) 在空间直角坐标系中表示平行于z 轴的柱面, 其准线为xOy面上的曲线C. 椭球面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面． ( 与 同号) 椭圆抛物面 z x y o x y z o 特殊地: 当 时, 方程变为 旋转抛物面 分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面. 例如 与 ( 与 同号) 双曲抛物面 (马鞍面) 设 图形如下： 单叶双曲面 x y o z 双叶双曲面 x y o 空间曲线的一般方程 空间曲线C 可看作空间两曲面的交线. 特点: 曲线上的点都满足方程, 满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能 同时满足两个方程. 8.3.2 空间曲线方程 例4 方程组 表示怎样的曲线? 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆 C 例5 方程组 表示怎样的曲线? 解 上半球面 (如图) 圆柱面 (如图) 交线为蓝色部分 (如图)