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导数在高中数学中的地位及解题中的应用 重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学（师范） 2013级3班 李锦华 指导老师 袁南桥 中文摘要：在近几年的高考中，对导数的考察越来越多，与导数有关的知识也成为高考考察的重要内容.导数作为选修课进入新课程，为高中阶段研究函数的相关性质提供了有力工具，本文试图以导数在函数、不等式以及切线中的应用为例，说明导数在高中数学解题中的应用分析 关键词：高中数学 导数 解题 应用 导数在高中数学中的地位 1.1有利于学生更好地掌握函数思想 导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像来反映，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了。 如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如，等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识。 数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决.其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题. 1.2有利于学生学好其他学科 高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都 有着广泛的应用.例如：根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s（t），算出物体的瞬时速度：v（t）=ds/dt、瞬时加速度：a（t）=d2s/dt2；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了. 1.3有利于发展学生的思维能力 通过学习导数把中学所学的知识全部串联起来，让学生成为知识的“”发现者”“探究者”和“运用者”，一真正发展学生的各项科学素质，培养学生的各项能力，为学生的终身发展和个性发展，科学世界观和科学价值的形成打下基础. 导数在高中数学解题中的应用 2.1导数在研究函数的极值和最值的应用 1.函数的最值与极值 求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质. 一般的，求可导函数的极值和最值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数 (2)求方程的根，计算在根和端点的函数值 (3) 比较在根和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值若满足，且在x0的两侧的导数异号，则x0是的极值点，是极值. 2.判别是极大、极小值的方法 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. 求函数在上的最大值和最小值． 分析：先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可 得该函数在区间，上的最大值和最小值． 解：由于，则 当时， 所以为函数的单调区间 当，，所以为函数的单调区间 又因为，所以 当时，取得最小值；当时，取得最大值. 例2 求函数的极值. 解： 令，得驻点 1 2 + 0 - 0 + 0 + 极大 极小 是函数的极大值；是函数的极小值 2.2利用导数研究曲线的切线 1．导数的几何意义 过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数， 即k=fx0=lim?x→0ΔyΔx= 2．导数几何意义应用的三个方面? 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：? (1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：? (2)已知斜率k，求切点，即解方程 (3)已知过某点 (不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点，利用?求解． 例3求曲线在点处的切线方程. 分析：此题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可． 解：由 则在点处斜率， 故所求的切线方程为， 即 例4求与直线的平行的抛物线的切线方程. 分析：此题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 解：设为切点，则切点的斜率为． ．得到切点． 故切线方程为. 即． 例