关于矩阵组合分析性质的若干结果-计算数学专业论文.docxVIP

摘要我们研究了关于m1矩阵、部分矩阵、符号模式、非负矩阵的几个问题． 摘要 我们研究了关于m1矩阵、部分矩阵、符号模式、非负矩阵的几个问题． 我们的工作分为以下几部分： 1．综合运用图论和矩阵论的技巧证明了：当七≥仃一1时，若n阶m1矩 阵A的七次方仍是m1矩阵，则A中最多有n∞一1)／2个1，A中有 n(n—a)／2个l当且仅当A置换相似于对角线以上元素全为1的严格 上三角矩阵． 2．确定了任意次幂仍是m1矩阵的n阶皿1矩阵中元素1的最大个数和取 到这一最大个数的矩阵．当n是奇数时这一最大个数为何+1)2／4，当死 是偶数时这一最大个数为n何+2)／4． 3．刻画了所有填充具有相同行列式的部分矩阵． 4．刻画了所有填充具有相同秩的部分矩阵，确定了给定阶数的这类矩阵中 未定元的最大个数以及达到最大个数的部分矩阵．这一工作与刻画给定 部分矩阵的最小秩这一未解决问题密切相关． 5．刻画了如幂零符号模式，找出了缸幂零符号模式中非零元的最大个数 并刻画了取得这个最大个数的珏幂零符号模式．这项工作与Tur，t-图 有关． 6．证明了不等式 IlAoBIl∞≤p(ArB)， p(Ax A2 0 0 A)≤p(A1A2 A)， 这里矩阵是非负的，A B表示A和B的Hadamaxd乘积，IIAtl∞和 p(A)分别表示A的谱范数和谱半径．它们加强了Sch_Ilr的经典不等式， 推广了Zhan-Audenaert的结果． 7．否定地解决了关于非负矩阵的奇异值和酉不变范数的两个猜想．本文的部分工作是与Richard 7．否定地解决了关于非负矩阵的奇异值和酉不变范数的两个猜想． 本文的部分工作是与Richard A．Brualdi教授、詹兴致教授合作完成的． 关键词 m1矩阵，有向图，部分矩阵，ACI-矩阵，符号模式，非负矩阵， 行列式，秩，奇异值，谱半径，谱范数，酉不变范数． AbstractW．e Abstract W．e study some problems Oil 0-1 matrices，partial matrices，sign patterns and nomaegative matrices．Our main results ale蹈follows． 1．By using techniques from graph theory and matrix theory,we prove that themlmberofentry I’Sina0,1ms,trixAisle醴ths．tl_oreqlxalton(n一1)／2 if小is also fl,0-1 matrix，where七≥n一1 is a given positive integer，and that the maximum nllmber is attained if and only if A is permutation similar to the strictly upper triatlgular matrix aU of whose entries above the diagonal are oil．88． 2．W．e determine the 133,axilnnm number of entries equal to 1 in those 0-1 matrices of order住all of whose powelfl ore 0-1 matriceil嬲well a8 the matrices that attain this maximum number，where the maximum number is(n+1)2／4 if n is odd and n(n+2)／4 if n is eVeD．． 3．We eharaeterize the partial matrices all of whose completions have the SIl,me determinant． 4．We etaaraeterize the partial matrices all of whose completions ha,re the same l-a13k and determine the maximum number of indeterminates iIl such partial matrices of a given order锄well It,S the matrices that attain this maximum number．Thi8 work is closely related to the open problem of determining the—min—imn—m—ra吐of all completio