第九章微分方程.ppt

方程 特点 解法 可分离变量的方程 两边积分 齐次方程 线性方程 常数变易法 一阶微分方程的求解 方程 解法 连续积分 几种二阶微分方程的解法 第九章 微分方程 第四节 微分方程的应用 例1、某种气体的气压 P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比，将此问题用微分方程表示. 解： 由题意可得： 解： 由题意可得： 解： 由题意建立初值问题： 解得： * 推导过程板演 * 推导过程板演 * 推导过程板演 * 注意： 特殊情形的求解 例4、求解初值问题： 解： 分离变量得： 两边积分 复习： 分离变量法 分离变量 两边积分 通解 特殊情形： 解 分离变量 两边积分 微分方程的通解为： 二、齐次方程 1.定义 的微分方程称为齐次方程. 引例：求解微分方程 解： 变形方程得： 微分方程的通解为： 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 3.步骤 （4）回代还原 （1）变量变换 （2）代入原方程，化为可分离变量的方程 （3）求解新方程 例5、 解 令 则 代入化简 并分离变量 两边积分 换回原变量 或 例6 、 求解微分方程 解 微分方程的解为 二、齐次方程 步骤 回代还原 变量代换法 例7、 求解微分方程 解 微分方程的解为 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式: y和y’是一次的 举例 线性方程 非线性方程 一阶线性微分方程的解法: 1. 线性齐次方程 方程的通解为 例8、 解： 代入原方程得： 原方程的通解为： 解微分方程： 一阶线性微分方程的解法: 2. 线性非齐次方程 常数变易法 非齐次方程的通解为 常数变易法步骤： 例9、 解： 代入原方程得： 原方程的通解为： 解微分方程： 例10、 解： 代入原方程得： 原方程的通解为： 解微分方程： 一阶线性微分方程的解法: 1. 线性齐次方程 齐次方程的通解为 2. 线性非齐次方程 常数变易法 非齐次方程的通解为 一阶非齐次线性微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 ——线性微分方程解的结构。 第九章 微分方程 第三节 可降阶的二阶微分方程 引入： 二阶微分方程的一般形式 两种特殊形式 一、 特点： 右端不含 仅是 x 的函数 解法： 两端积分 再积分 解法： 连续n次积分 例1、 解： 例2、 解： 二、 型 特点： 右端不含 y 解法： 令 一阶微分方程 积分 例3 解方程 解 令 分离变量得 由 由 故 返回 三、 型 特点： 右端不含 x 解法： 令 例4 解： 代入原方程得 原方程通解为 小结： 方程 解法 连续积分 微分方程的基本概念 第九章 微分方程 第一节 微分方程的概念 引例： 解 微分方程 解微分方程 前言 变量与导数或微分 之间的关系 变量间的函数关系 微分方程 解微分方程 微分方程也是一个数学模型。许多实际问题可以抽象为微分方程问题。例如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 本章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的微分方程的求解方法。 §9.1 微分方程的一般概念 一、微分方程的定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 例1、 解： 根据题意可得： 物体冷却的数学模型 微分方程 微分方程 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 分类2: 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 二、微分方程的分类 一元函数 一般形式 三、微分方程解的概念 1、微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 可以验证函数下列函数为微分方程 的解 解为 2、微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如： （4）初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: 过定点的积分曲线; 二阶: 归纳： 微分方程的解 通解 特解 初始条件 微分方程 初 值 问 题 3、微分方程解的几何意义 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 一阶微分方程初值问题的几何意义： 求微分方程通过定点的积分曲线。 解 所求特解为 小结 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初