新微积分演习-国立成功大学数学系.PDF

新 微積分演習 電子書 1 版 編著者 : 顏國勇 國立成功大學數學系 2012 年 9 月 24 日 完成 了 《 微積分學 》 及 《 機率論 》 的電子書之後, 進一步希望寫點有關微積分解題的講 義。 很 多微積分初學者在上完課之後, 看到題 目時往往不知如何下手解題, 於是對於這門課望而 卻步。 本書之 目的 : 希望能提升初學者對於微積分學習之興趣; 而以良好的微積分基底, 迎接更 為深奧之純粹或應用數學; 也希望協助讀者建立正確的數學觀念 —– 經由 「定義」 和 「定理」 以 演繹推理方法解決問題; 我們若能學得縝密思考、 分析問題以及強化邏輯演繹的能力, 對於往後 的終身學習影響深遠。 筆者曾在 1978 至 1993 年間出版 《微積分演習 》, 在 1994 及 1995 年完成 《微積分題庫 I II 》, 這些書本蒐集 了二千多題的習題考題及其解, 大部分以 T X 格式編輯 , 自 2012 年元 月 E 開始, 從其中篩選較具代表性的三百多題, 分置於三十一個單元之內。 原則上選題時避免過份 簡 單或過份艱深, 同一單元內儘可能選取不同類型之題 目。 與前二本電子書相 同, 改以 cwT X 排 E 版系統編輯 , 書中全部圖形皆 自行繪製, 以協助讀者迅速進入問題之核心。 本書 內之符號與觀念皆與拙著 《 微積分學．電子書 2.1 版 》 相 同, 讀者閱讀本書時, 若遭遇 瓶頸, 不妨參照上述電子書, 對於微積分學習必有裨益。 全球各地的大學生大部分修過 《 微積分 》 這門課 , 不少人也考得 高分, 但能完全領略其中 奧秘並運 用 自如者, 應屬少數 , 本書提供讀者一個 自我評鑑的平台, 看完題 目, 提起筆, 思考和解 題, 最後再和書中之解比較一下。 編書 多年, 雖校對再三, 深知書 中誤謬甚難完全避免, 深盼讀者先進不吝來函賜正。 顏 國 勇 2012年九 月於台灣台南 t14014@math.ncku.edu.tw 2 序及 目錄 2 第 1 單元 集合、 函數、sup, inf 5 第 2 單元 極限 14 第 3 單元 連續 (一維) 25 第 4 單元 導數運算 31 第 5 單元 切線與關聯比率 38 第 6 單元 特殊函數及其導數運算 45 第 7 單元 均值定理 53 第 8 單元 極值問題 (單變數) 59 第 9 單元 參數方程式 70 第 10 單元 隱函數 (單變數) 78 第 11 單元 Taylor 定理 86 第 12 單元 近似值問題 94 第 13 單元 作圖與凹凸性 106 第 14 單元 不定積分 117 第 15 單元 Riemann 積分 128 第 16 單元 微積分基本定理 139 第 17 單元 積分變換 (單變數) ... 150 第 18 單元 瑕積分 155 第 19 單元 近似積分 164 第 20 單元 積分應用 171 第 21 單元 實數序列及實數級數 192 第 22 單元 冪級數 203 第 23 單元 n 維空間與向量運算 214 第 24 單元 空間曲線 218 第 25 單元 多變數函數之極限、 連續性 225 第 26 單元 方向導數、 梯度與切面 232 第 27 單元 極值問題 (多變數) ... 244 第 28 單元 Taylor 公式 (多變數) 與近似值 258 第 29 單元 二重積分、 累次積分 262 第 30 單元 積分變換 (多變數) ... 273 第 31 單元 線積分與 曲面積分 285 3 本書常用之數學符號 • R =實數 系 • R = 非負實數集合 = {x ∈ R | x ≥ 0} + ∗ • R = R \ {0} ∗ • R = 正實數集合 = {x ∈ R | x 0} + • R = 擴張的實數 系= R ∪ {−∞, +∞} • Q = 有理數系 • Z = 整數系 • N = 自然數系= {1, 2, 3, } • N (p ) = 點 p 之 δ 鄰近 = (p − δ, p + δ) 開區間 δ • N ∗ (p ) = N (p ) \ {p } δ δ • A′ = 集合 A 之導來集 (derived set) ◦ • A = 集合 A 之內部 (interior) • Df = 函數 f 之定義域 (domain) • Rf = 函數 f 之值域 (range) • f −1 = 函數 f 之反函數 (inverse function) • (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = 函數 f 與 g 之合成 (composite function) • [x] = 小於或等於 x