第四章线性系统的根轨迹法.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 系统性能的分析 4.5(补充) 利用MATLAB绘制根轨迹图 本章要求 绘制0度根轨迹的法则(修改的法则) 1.实轴上的根轨迹： 2.渐近线的夹角： 3.起始角和终止角： 起始角： 终止角： 其右侧实数开环零、极点个数之和为偶数(包括0)的区域。 例1：设单位正反馈系统的开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。 1.开环零极点： [解]： 2.实轴上： 3.渐近线： p1=0 p2=-1 p3=-5 [-5，-1] [0，+∞) 4.分离点： 根轨迹图 例2[例4-8]设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别如下，试绘制该回路的根轨迹图。 1.开环零极点： [解]： 2.实轴上： 3.渐近线： (-?，-3]，[-2，+?) 4.分离点： 经整理： 5.起始角： 根轨迹图 6.确定临界开环增益： s=0时 比较正负反馈的根轨迹方程： 若开环传递函数为： 则正负反馈的根轨迹方程分别为： 可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的K*从0 →-∞时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 -∞K*+∞ 时的整个区间的根轨迹。 正反馈(0度)根轨迹图 将例1给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下： 负反馈(180度)根轨迹图 一、稳定性 如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。 二、运动形式 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应一定是单调的； 如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。 ? ? ? ? 108.5° 90° 59 ° 37 ° 19 ° 56.5 ° 起始角： 5.起始角和终止角： ? ? ? ? 90 ° 121 ° 153 ° 199 ° 63.5 ° 117 ° 终止角： 概略根轨迹图 法则7. 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对纯虚根，这时的增益称为临界根轨迹增益。 交点和临界根轨迹增益的求法： (1)由劳斯稳定判据求解； (2)令s=jw，代入闭环特征方程中，使实、虚部分别为零，求出w 和K*。 解： 方法一 例8. ，试求根轨迹与虚轴的交点。 K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点) 与虚轴的交点: 闭环系统的特征方程为： s=jw 方法二：用劳斯稳定判据确定交点的值。 劳斯表： s2的辅助方程： K* =30 当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。 即 法则8. 根之和 当n-m≥2时： 对于任意的K* 闭环极点之和等于开环极点之和为常数。 表明： 当K*变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动(变大)，则另一些极点必然向左移动(变小)。 该规则的作用： (1)定性判断根轨迹的走向； (2)已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。 小结 需掌握绘制根轨迹的8个准则 根轨迹的起点和终点； 根轨迹的分支数、对称性和连续性； 实轴上根轨迹； 根轨迹的渐近线； 根轨迹的分离点与分离角； 根轨迹的起始角和终止角； 根轨迹与虚轴的交点； 根之和。 1.标注开环极点和零点(纵、横坐标用相同的比例尺)； 2.实轴上的根轨迹； 3.n-m条渐近线； 4.根轨迹的起始角和终止角； 5.根轨迹与虚轴的交点； 6.根轨迹的分离点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的分支数、起始点和终点、根之和等性质画出根轨迹。 根轨迹作图步骤 例9[例4-4]系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。 3.渐近线： 4.起始角： 1.开环零极点： 2.实轴上的根轨迹： 解： [-3，0] 5.分离点： 6.与虚轴的交点： 劳斯表： 当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。 即 K* =8.16 s2的辅助方程： 概略根轨迹图 3.渐近线： 例10.开环传递函数为： ，试绘制该系统概略根轨迹。 4.起始角： 1.开环零极点： 2.实轴上的根轨迹： 解： (－∞，0] 5.与虚轴的交点： 特征方程： s=jω ---舍去(起点) 6.分离点： 由图可知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离点。 特征方程： 概略根轨迹图 开环极点、零点分布及其相应的根轨迹 二、闭环极点的确定 上面绘制根轨迹的基本原则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。为了得到准确的根轨迹曲线，必要时可以选取若干个试验点，用相角条件去检验。 方法： 根据模值条件先用试探法确定实数闭环极点的数值； 用综合除法得到其余