广义测度空间上的模糊度量及其收敛问题研究-应用数学专业论文.docxVIP

博士学位论文摘 博士学位论文 摘 要 广义测度(包含非可加测度和模糊测度)作为模糊集理论的一个分支，最早形 成于20世纪70年代，它与广义积分是经典测度与积分的延拓，与调和分析、微分方 程、差分方程和最优化理论有着紧密联系，同时在多准则决策、信息集成、模式识 别和回归分析等方面也有着广泛应用．模糊度量空间理论是模糊拓扑学中的一个 重要组成部分．近十年来基于三角模的模糊度量理论备受关注．学者们在完备化、 收敛、紧致性、一致连续、不动点等方面取得一系列漂亮的结果．另外，模糊度量 空间理论还与广义测度、Dommn理论、图像处理等结合繁衍出许多新的研究课题． 收敛问题是测度论和拓扑学中的核心问题，而利用度量理论研究测度的收敛 问题，更是拓扑测度研究的重要领域，也是拓扑学与测度论密切联系的重要体现． 本文主要研究广义测度与模糊度量之间的联系，通过在广义测度空间上构造模糊 度量，研究广义测度空间上的收敛问题及其在广义测度扩张上的应用．因此，本文 研究结果将进一步丰富和完善广义测度理论和模糊度量理论，并为广义测度论的 应用提供更为坚实的理论基础． 本文以关注度较高的两类广义测度(可分解测度和模糊测度)为研究对象，主 要围绕以下三个问题展开研究：(1)广义测度与模糊度量相互诱导的方法；(2)广 义测度空间与模糊度量空间性质的相互刻画；(3)应用上述结果研究广义测度空 间上的收敛、扩张等问题．全文共六章，主要研究工作分四个部分： 第一部分研究可分解测度空间上的广义度量．在可测集上定义一个等价关系， 并在其构造的商集上诱导一个广义度量：讨论所诱导的广义度量空间的连续性、 完备性等性质；研究所构造的广义度量空问与盯一上一可分解测度空间性质的相互刻 画．研究发现，矿一上一可分解测度空问上的“一可分性、无原子的性质在广义度量空 间中可以得到有效刻画． 第二部分研究模糊测度空间上的模糊度量．通过在模糊可测空间上定义模糊 可测集的模糊度量，探讨所构造的模糊度量空间与在模糊可测空间上构造的模糊 测度空间之间性质的相互刻画．沿用第一部分的研究思路，基于给定的模糊测度， 通过在模糊可测集上构造等价类，并在其商集上定义模糊度量；讨论所构造的模 糊度量的完备性、连续性等性质；证明了模糊测度空间的无原子性质在所构造的 模糊度量空间上可以很好地刻画．结论表明，当t一模取rain时，经典结果可以在模 糊背景上得到推广． 第三部分研究可分解测度扩张的广义伪度量方法．应用第一部分的研究结果， 给出盯一J_一可分解测度从A NS(A)上的扩张，即为所诱导的广义伪度量空间上子 集的闭包．研究广义伪度量方法扩张与O-一上一可分解测度完备化以及Carath6dory扩 张之间的关系．结果表明，利用广义伪度量方法的or—J-一可分解测度扩张与O-一上一可 万方数据 广义测度空间上的模糊度量及其收敛问题研究分解测度的完备化以及Carath4dory扩张结果是一致的，但是广义伪度量方法更加 广义测度空间上的模糊度量及其收敛问题研究 分解测度的完备化以及Carath4dory扩张结果是一致的，但是广义伪度量方法更加 直观、有效． 第四部分研究可分解测度空间上的Vitali．Hahn．Saks定理．应用第一部分的 研究结果讨论可分解测度序列的集合式收敛问题．利用广义度量空问上的Ba．ire定 理等重要结论，证明可分解测度空间上的Vitali—Hahn—Saks定理，Nikodym定理．研 究结果表明，在一定条件下，可分解测度序列的“集合式收敛”(在拓扑学中定义 为逐点收敛)可以得到可分解测度序列“一致绝对连续”，实现了测度概念和拓扑 概念的相互刻画． 关键词：模糊度量(测度)；广义测度(度量)；收敛问题；可分解测度；测度扩张． 万方数据 AbstractAs Abstract As a branch of fuzzy sets theory,the theory of generalized measIlre(including non—additive measure and fuzzy measure)was formed in the 1970s．And together with and generalized integral，are the extension of classical measure and integral． It has close connection with harmonic analysis，differential equations，dif]研ence equations and optimization，and it is widely used in multi-criteria decision making， 1nlormation int