正多边形区域上Laplace算子特征值的非结构网络-南京师范大学学报.PDF

第４１卷第 １期 南京师大学报(自然科学版) Ｖｏｌ４１Ｎｏ１ ２０１８年３月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＮＪＩＮＧ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ(Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ) Ｍａｒꎬ２０１８ － ｄｏｉ:１０.３９６９/ ｊ.ｉｓｓｎ.１００１ ４６１６.２０１８.０１.００６ 正多边形区域上Ｌａｐｌａｃｅ算子特征值的 非结构网络谱元法 文永松ꎬ庞一成ꎬ张　 俊ꎬ朱淑娟 (贵州财经大学数学与统计学院ꎬ贵州 贵阳５５００２５) [摘要]　 采用高精度的混合三角形、四边形单元剖分求解任意正多边形区域上的Ｌａｐｌａｃｅ算子的特征值. 由Ｌｅｇ￣ ｅｎｄｒｅ多项式线性组合构造内部单元的基函数和边界基函数. 首先ꎬ给出特征值的误差估计和算法实现. 然后ꎬ测试 数值算例的精度ꎬ以验证理论结果ꎬ表明方法的有效性及正确性. [关键词]　 Ｌａｐｌａｃｅ算子ꎬ特征值问题ꎬ非结构网络谱元法 － － － [中图分类号]Ｏ２４１.８２　 [文献标志码]Ａ　 [文章编号]１００１ ４６１６(２０１８)０１ ００２６ ０４ Ａｎ Ｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｌａｐｌａｃｅ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ Ｒｅｇｕｌａｒ Ｐｏｌｙｇｏｎｓ ＷｅｎＹｏｎｇｓｏｎｇꎬＰａｎｇ ＹｉｃｈｅｎｇꎬＺｈａｎｇ ＪｕｎꎬＺｈｕ Ｓｈｕｊｕａｎ (Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ＳｔａｔｉｓｔｉｃｓꎬＧｕｉｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ ＥｃｏｎｏｍｉｃｓꎬＧｕｉｙａｎｇ ５５００２５ꎬＣｈｉｎａ) Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒꎬｗｅ ｕｓｅ ａｎ ｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｍｉｘｅｄ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒａｎｄ ｑｕａｄｒａｎｇｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｌａｐｌａｃｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｐｏｌｙｇｏｎ ｄｏｍａｉｎ. Ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｌｅｇｅｎｄｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｆｏｒ ｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｅｌｅｍｅｎｔａｎｄｂｏｕｎｄａｒｙ.Ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ. Ｆｉｎａｌｌｙꎬａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄｔｏ ｓｕｐｐｏｒｔｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄｓ. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ:Ｌａｐｌａｃｅ ｏｐｅｒａｔｏｒꎬｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍꎬｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ 谱方法已成为偏微分方程数值求解的重要方法之一ꎬ其主要的优点是高精度ꎬ即如果原方程的解无限 光滑ꎬ那么用谱方法所求得的数值解将是指数阶收敛的. 传统意义下的谱方法也有其不足之处ꎬ其中一个 [１] 主要缺点是要求计算区域计较规则ꎬ也就是说它无法灵活处理复杂的物理区域. 由Ｐａｔｅｒａ 等人发展起来 的谱元法基于区域分解的技巧ꎬ将复杂