转化———数学解题的桥梁-简单学习网.DOCVIP

PAGE PAGE 1 转化———数学解题的桥梁 浙江省上虞中学（312300） 谢全苗 客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化．反映在数学上的转化思想就是从已知条件出发，联想已经学过的知识、方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁． 事实上，解题的过程就是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程．因此，利用目标导航，进行灵活转化是让解题思路来得自然的重要途径．“数学家们也往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”（ 匈牙利数学家路莎·彼得语）．所以，学习、掌握数学家们这种把新问题转化为已经解决的问题的思维策略是十分必要的．下面通过具体实例从四个层面上介绍如何利用转化思想实现问题解决． 掌握转化思想，提高转化的自觉性 思想，无论是社会科学范畴，还是自然科学范畴，都是在长期实践中悟出的高层次的观念性的事物规律．数学解题中的转化思想就是师生在长期的数学教与学中，在知识、方法的不断学习与反复应用中提炼出来的认知数学、处理问题的基本观点．如在解方程、解不等式的过程中总是把超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整式、多元式化一元式、高次化为低次；在立体几何中常把空间问题化为平面问题，┉逐渐悟出数学中常把新转化为旧，复杂转化为简单这一数学解题的规律，一旦悟出这些高度概括的数学思想，人们会由自在变为自觉，在处理问题时会主动、自觉地运用、调动各种方法与手段去贯彻、实现这种思想，解决面临问题． 例1 若正数、满足＝＋＋３，则的取值范围是　　　　．（1999年全国高考题） 分析：本题虽有多种解法，但若由＝＋＋３，想直接推出的取值范围是走不通的，要是掌握了转化思想，就会自觉地去转化．因为这里是求的范围，所以需要构造含有的不等式，对此，由于、是正数，显然＋≥２成立，当且仅当＝时取等号．这就很快地把等式＝＋＋３转化为关于的不等式≥２＋３，这是关键的一步．解不等式－２－３≥０得≥３或≤－１（舍去），∴≥９．即的取值范围是［９，＋∞． 例２　已知函数＝，，若，且，证明：．（199４年全国文科高考题） 分析：本题是一道三角不等式的证明问题，若想从左向右证，我们须完成两个转化： = 1 \* GB2 ⑴把两个分散的单角转化为和角，这只能借助和角公式或积化和差与和差化积公式； = 2 \* GB2 ⑵进行函数值的缩小转化，这需借助三角函数的值域性质． 朝着以上认定的变形方向展开思维，首先想到“切化弦”并通分的变形（因为关于弦函数的公式比切函数丰富得多），得 ＋＝＝ 用和差化积与积化和差公式，得　　 想把此式经过缩小变形化为2．比较此二式想到： = 1 \* GB3 ①应消失； = 2 \* GB3 ②和角应转化为半角．由此联想起余弦函数的取值性质和正切函数的半角公式，发现，且　０１，０２＝＋１＋，所以就有＝．至此证明思路打通，归纳整理后，证明如下： ＋＝＝＝． ∵，且，∴０，０， 且０１，∴０＋１＋． ∴（＋）＝＝． 即　． 注重转化研究，实行转化的多样性 并非所有的问题只要一审题，就来了正确的思路，许多问题的思路都是对问题的条件和结论的不断转化中化出来的．而转化具有多样性、层次性和重复性的特点．为了实现有效的转化既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是转化的多样性，只有注重转化研究，才能实行转化的多样性． 例3　设＞０，＞０，≠，且－＝－．求证： １＜＋＜． 分析：在条件中虽没有直接的目标式：“＋”，一审题，是很难一下就来正确思路的．如果我们能对问题的条件和结论进行转化，解题的思想就在这种不断转化中化出来了． ∵　－≠０，由　（－）（＋）＝（－）（＋＋）， 得　　　＋＝＋＋　．将 ＋＋　配方产生目标　“＋”． 不妨设＋＝，有　＝（－＝－．　即　－＝． 再将　　向目标“＋”转化，自然想到　＜＝　（∵≠）， 于是，有　－＜，即　３―４＜０，解得０＜＜． 如何证明　＞１，则又是一个解题目标． 事实上，由＞０，＞０知，－＝＞０，即＞，而＞０，∴　＞１． 例4 如图已知梯形中=2, 点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点,且以,为焦点，当≤≤时，求双曲线的离心率的取值范围.(2000年全国高考试题) 分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：≤≤中的，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点分有向线段所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地，从不同的视角下进行有效的转化： 如图以的垂直平分线为轴