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第六章 图论 §1 图的基本概念 PAGE PAGE 12 获得北京市高校第五届青年教师教学基本功比赛最佳教案奖 北京高校第五届 青年教师教学基本功比赛 青年教师教学基本功比赛 参赛教案 类 别 A组理工类 任课教师 岳瑞锋 北京高校第五届 青年教师教学基本功比赛 参赛教案 课程名称 运筹学 授课章节 第六章 图论 §1 图的基本概念 授课对象 非数学专业本科二年级 授课时间 50分钟 任课教师 岳瑞锋 【教学目标】 知识层面：通过七桥问题掌握欧拉定理，并利用中国邮路问题理解欧拉定理在解决实际问题中的作用。掌握关于图的一些基本概念和结论。 能力层面：通过解决七桥问题和中国邮路问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。 认知层面：体会图论中对图的讨论和传统几何学的不同之处，认识到对图的这种分析角度打开了一个新的视野。 【教学内容】 七桥问题与欧拉定理。 中国邮路问题的解法。 图的基本概念和结论。 【教学重点与难点】 教学重点：欧拉定理，中国邮路问题，图的有关概念。 处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。 教学难点：中国邮路问题算法过程；关于图的三个定理。 处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。 【教材分析】 图与网络分析是运筹学的重要内容之一。它以图为研究对象。图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。图论是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。图论的研究发源于18世纪普鲁士的柯尼斯堡。从19世纪中叶开始，图论问题大量出现。比如哈密顿问题、四色问题以及与之相关联的图的可平面性问题等。1936年D.柯尼希发表了图论的第一本专著《有限与无限图理论》，这时图论才成为一门学科。近代以来，由于生产管理、军事、交通运输和计算机网络等方面出现了大量实际问题，特别是许多离散化问题的出现，以及由于大型高速电子计算机而使许多大规模问题求解成为可能，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。尤其是图论与线性规划、动态规划等优化理论和方法的互相渗透，促使和丰富了图论的内容和应用。 本次课是图论的第一节内容。由于图论直接从现实问题入手，经过抽象构建一般理论。对学生而言，除了比较基础的线性代数知识外，对其他分支的数学内容要求不高。但由于图论中对图的分析视角完全不同于传统几何学，从认知水平上，属于全新的认识角度。为了构建这门学科体系，学习图论之初要涉及大量的概念和定义，这将使得本来生动活泼的图论显得枯燥乏味。为了能够引起学生的学习兴趣，可从图论上的一些经典的问题入手，在此基础上，逐步引入重要的概念和结论，为后续的有关图的一些算法做准备。例如用七桥问题和中国邮路问题引入课程内容，逐步引导学生从实际问题中抽象出一般的图，并体会如何通过对图的讨论来解决现实问题。 本部分内容一方面具有较为直观的意义，另一方面，如果上升为数学上的一般结论，又不得不借助于大量的符号语言和逻辑推理。在教学过程中，应恰当处理借助图形直观含义和严密的数学推理之间的关系。既要引导学生从直观上发现问题的实质，也要注意对某些关键的结论进行缜密的逻辑推理。例如欧拉定理和中国邮路问题的算法过程的直观意义相当明显，但要进行数学证明则需要借助许多相关的概念和结论，证明过程反而掩盖了其数学本质，这时候就不易进行数学证明。 【设计思路】 设计要点一： 通过介绍七桥问题引入本课内容，一方面有助于引起学习兴趣，另一方面通过介绍七桥问题，使学生初步体会认识图的新视角。 设计依据： 创设问题情境，引起注意和好奇心理，是激发学习动机，进行有效学习的重要因素。 设计要点二： 利用中国邮路问题阐述欧拉定理的应用，进一步体会图论和传统几何学对图的分析视角的重要区别。在完成中国邮路问题的算法过程之后，引导学生自主分析这种区别并进行归纳，从而完成从直观感觉到认知水平的升华。 设计依据： 学习的过程不仅仅简单掌握方法，更重要的是原有知识的重新体认，是认知结构的重塑和提升。 设计要点三： 七桥问题和中国邮路问题的解决过程都遵循了“实际问题—建立模型—分析模型—解决问题”的思维方式。通过这种方式的教学，在潜移默化中培养学生利用已有知识解决现实问题的能力。 设计依据： 授课过程不仅要传授知识，而且要注重能力的培养。 设计要点四： 上述两个问题有助于让学生认识到“图论既有意思也很有用处”，从而激发其求知欲望，这时恰当把握时机，将求知欲望转为学习动力，完成从“现实问题”到“数学理论”的升华，转入下一部分图的基本概念和结论。 设计依据： 每节课都有