概率统计方法_建模讲座.ppt

97年赛题：零件的参数设计 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 * * 案例1：如何估计池塘中鱼的数量 一、问题：要估计一个池塘里有多少条鱼，可以采用“标志重捕法”，即：先重池塘中捕出r条，每条鱼都做上记号，经过一段时间后，再从池塘中捕出s条（sr），统计其中标有记号的鱼的条数t,利用这些信息，估计池塘中鱼的条数N. 需要作哪些假设？ 1、实验期间，标记个体不会变化。 2、标记不会对鱼造成伤害。 3、期间没有迁出、迁入、新生和死亡。 4、所有鱼被捕获的概率相等。 模型假设 二、问题的分析与求解 解法一：用概率的统计定义方法求 从而，N的估计为： 可用参数估计方法求解 解法二：用矩估计方法求 易求得： 与解法一结果一致！ 解法三：二项分布与最大似然估计 评述： 1、同一问题可用不同方法求解。 2、类似问题可用同样方法去考虑。 3、估计动物群体数量还可用其它方法，如“轰赶法”. 案例2：产品质量验收中抽样方案的确定 一、问题：一批产品出厂之前，要进行质量验收，一般采用抽样检验法，即从一大批产品中随机抽出n件，用这n件产品的质量信息推断整批产品的质量状况，以确定这批产品是否合格。在抽样之前要确定抽样方案，即样本容量及接受这批产品的准则。 二、问题的分析与模型的建立 显然，接受概率L是p的函数，记为L=L(p)，称为接受概率曲线，或抽样特征曲线，也称OC曲线. L(p)是p的减函数. p 由于抽样的随机性，有可能拒绝一批高质量的产品，犯这类错误的概率记为 ，称为生产风险；也有可能接受一批低质量的产品，犯这类错误的概率记为 ，称为使用风险。 只有增大容量n才能同时降低这两类错误的概率，但这样做通常是不可行的！ 一种折衷的方案是生产者和使用者都承担一定的风险. 高质量的产品(p较小)使用方以高概率接受，以保护厂方利益；低质量的产品(p较大)使用方以低概率接受，以保护使用方利益。 p 由于L(p)是p的减函数，所以n,d也可由下式确定 现要验收一批产品，如果该批产品的次品率p0.04,就接受该批产品；如果p0.1就拒绝这批产品。并且要求当p0.04时,不接受这批产品的概率为0.1，当p0.1时接受这批产品的概率为0.1，试为验收者制定验收抽样方案。 三、举例 抽查112件产品，如果抽得的不合格品数不超过8件，就接受该批产品，否则拒绝该批产品。 四、问题的扩展 也可用上述方法确定计量质量指标抽样检验方案 因此，抽样检验检验方案可以用(n,c)表示。 解上述方程组，得 五、问题的进一步思考 一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回. 每份报纸订购价格为b，零售价格为a ，退回价格为c (a ＞ b ＞c ). 请你为报童制定一个最佳订购方案. 案例3：报童的订报模型 二、问题的分析 报童每天卖出报纸的数量?是一个随机变量，因此报童每天的收入也是一个随机变量, 所以作为优化模型的目标函数,不能是报童每天的收入, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从大数定律的观点来看, 这相当于他每天收入的期望值. 另一方面,如果报纸订得太少,供不应求, 报童就会失去一些挣钱的机会,将会减少收入;但如果订多了,当天卖不完,每份得赔钱, 报童也会减少收入. 设报社有足够的报纸可供定购； 当天卖不出去的报纸只能退回； 报童除了订购报纸费用外, 其它费用(如交通费、摊位费等)一概不计； 报童每天订购n份报纸, 实际能卖出r份报纸, 且P{? = r } = p(r).（分布律是什么？泊松分布还是正态分布？） 三、模型的假设 如果0≤r≤n,则售出r份报纸增加收入(a - b)r, 退回n-r份减少收入(b-c)(n-r)； 如果r＞n, 则售出n份报纸增加收入(a -b)n. 因此报童每天收入的期望值： 问题归结为在a,b,c,p(r)为已知时,求n使f(n)最大. 四、模型的建立 期望值模型 将r视为连续变量 五、模型的求解与结果 结果解释 n P1 P2 取n使 a-b ~售出一份赚的钱