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PAGE .. 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限. 2.设,求. 3.设，求. 4.判定级数的敛散性. 5.求反常积分. 6.求. 7.. 8.将在上展为以为周期的付里叶级数，并指出收敛于的区间. 9.求微分方程的解. 10.求曲线与直线所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将展开为的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线上取点,过点作平行于轴的直线,由直线,轴及曲线所围成的图形记为,由直线,直线及曲线所围成的图形面积记为,问为何值时,取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数在上一致收敛. （2）求幂级数的收敛域及和函数. 六.(6分)设,试证存在,使 2008．1．15 一．解答下列各题(6*10分): 1.计算极限 . 2.设求. 3.设求. 4.判定级数的敛散性. 5.计算反常积分. 6.计算不定积分. 7.计算定积分. 8.求函数在上展成以4为周期的正弦级数. 9.求微分方程的通解. 10.求由曲线及所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当时,有 . 三.(9分) 设抛物线通过点,为了使此抛物线与直线所围成的平面图形的面积最小,试确定和的值. 四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数的收敛域及其和函数. 六.(6分)设函数在的邻域内有连续的一阶导数,且, 证明:条件收敛. 2007年1月 计算下列各题(6*10分): 1．计算极限. 2. 设, 求. 3. 设求. 4. 判定级数的敛散性. 5. 计算反常积分. 6设为的原函数, 求. 7. 将展开成以为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在和两点的收敛值. 8. 将函数展开为的幂级数,并指出其收敛域. 9求微分方程的通解. 10. 求抛物线与所围图形的面积. 二. (9分) 若函数在点可导. 求和. 三. (9分) 在曲线上求一点,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度为多少? 五.(8分)求幂级数的和函数并求出级数的和. 六. (6分) 已知函数在上可导, 且并满足等式 , 求并证明 2006年1月 计算下列各题(6*10分): 1. 2.设, 求. 3.设, 求. 4. 判定级数的敛散性. 5. 设由方程所确定,求. 6.计算不定积分. 7. 将, 展成以为周期的傅立叶级数. 8. 将函数展成的幂级数, 并指出收敛区间. 9. 求微分方程的通解. 10. 设曲线与交于点A, 过坐标原点和点的直线与曲线围成一个平面图形. 问: 当为何值时,该图形绕轴旋转一周所产生的旋转体体积最大? (8分) 证明不等式: 当时, , . (9分). 设, 求. (9分). 一物体在某一介质中按作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由移动到时克服阻力所作的功. (9分) 求级数的和. (5分). 设, , 证明: . 2005年1月15日 一. 解答下列各题（6×10分） 计算极限 设，求. 设在处可导,求常数和. 判定级数的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 设由方程所确定,求. 设连续,且满足.求. 求的极值. 计算不定积分. 计算定积分. 求由曲线, 直线, 所围成的平面图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 二. (8分). 试证明不等式时, . 三. (9分) 将函数展成的幂级数,并指出收敛区间. 四. (9分) 已知在的邻域内可导, 且,. 求极限. 五.(8分) 求幂级数的收敛域及和函数. 六. (6分) 设在上连续, 在内可导, 且, . 证明 2004年1月 一、解下列各题 1、 2、设,求 3、求不定积分 4、求不定积分 5、求定积分 6、求由曲线及轴围成的图形的面积。 7、判定级数的敛散性 8、将展开为的幂级数，并求收敛域。 9、求幂级数的收敛域及和函数。 10、曲线上哪一点的法线在轴上