函数的连续性的例题与习题(一).docxVIP

.. 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设满足，且在连续。证明：在任意点处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“在任意点处连续”，那么我们就先固定一个点，用函数连续的定义来证明在处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件，也就是，你的脑海里就要想到，如果设，那么就有 ；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：在连续！它意味着：。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ，取，则有 ，所以。 （#） 对于固定的（任意的！），若取，有 ， （+） 在（+）式两边取的极限，那么 ， （） 由已知条件：在连续，所以，代入（#）的结果，就有 ， 但从（）知，，所以 。 根据函数连续的定义E，在任意点处连续。 你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。 例1.2（例1.21（一））设常数，，求的分段表达式，欲使连续，试确定的值。 分析：首先要注意，函数不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。 中出现了几个幂函数 ，根据幂函数的性质，的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。 （1）： 都趋于零（当时），所以 。 （2）： 此时都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数： 。 （3）： ； （4）： ， 极限不存在。 故得 。 欲使连续，即使在连续，等价于，故。 例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设在处连续，且，那么存在，当时，。 分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。 证明：因为在处连续，所以对任给的，总存在，使得当时，恒有，也就是 。（+） 若取 ，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ； 若取，那么就有 。 （不过，此时的中的要变小） 当然，你也可以取不同的，当然要变。如果我们只需要证实的值为正，那么取就已经够了。 例1.4（例1.23（一）） 设在区间上连续并大于零，证明在也连续。 分析：我们需要证明的是：在上任取点，对任给的，存在一个，使当时， 有。 直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）： 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在的一个邻域中有！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。 证明：对任一，，是的连续点。由局部保号性，存在的邻域，使得。所以在这个邻域中， ； 由在区间上的连续性知，对于任给，存在，使得当时，有 。 我们取，那么在这个更小的邻域中，（即）有 ， 则有函数的连续的定义知， 是函数的连续点；又由的任意性，得在区间也连续。 例1.5 确定之值，使函数在内连续。 解：