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第 七 章 微 积 分 应 用
§7.1定积分的几何应用
1．平面图形的面积
b
定积分的应用，关键是把问题写成 f (x)dx 的形式，这时关键是把f (x )dx dF (x)
a
的意义搞清楚，这个观点称为微元法。
比如要求以x a ，x b (a b) ，y f (x ) ，y g (x) 所围图形的面积，其中
f (x ) ，g (x ) 连续，且f (x ) g (x ) 。我们考虑从x 到x dx 这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取f (x ) g (x) ，其面积 (f (x) g (x))dx dA(x) 。所以所围图形面
b
积为 f (x) g (x)dx 。
a
α
如果函数由极坐标给出，我们要求向径q a ，q b (a b ) 和函数r r(q ) 围成
的面积 （如右上图）。考虑从q 到q dq 这个微元，它近似地可看成是个扇形，面积微元
1 2 1 b 2
dA(q ) 2 r (q )dq ，所以总面积2 a r (q )dq 。
例1求曲线y 2 4(x 1) 与y 2 2(x 2) 围成的图形面积。
解 画图如下，恰如 “月上柳梢头，人约黄昏后”的一弯新月，切记做这类问题都要
画图，一是便于理解掌握，二是 “诗配画”的意境是一个整体，绝不是单单几个公式一个答
案所能涵盖的。
2 1 2 2 1 2
这里把y 4(x 1) 写成x (4 y ) ，y 2(x 2) 写成x (4 y ) ，它
4 2
们是有两个交点y 2 的两条抛物线。
152
2
S 1 (4 y 2 ) 1 (4 y 2 ) dy
2
2 4
2
20 1 (4 y 2 ) 1 (4 y 2 )dy 8 。
2 4 3
1 2 y
x (4 y )
2
p
4
x
1 2
x (4 y )
4
例2 求双纽线r 2 a2 cos 2q 所围成的图形面积。
p
解 作图如右上。 S 4 1 4 a2 cos 2q dq a2
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