二次函数应用(拱桥问题).docxVIP

.. 二次函数综合应用题（拱桥问题） 适用学科 数学 适用年级 初中三年级 适用区域 全国 课时时长（分钟） 60 知识点 二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用 教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。 2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。 3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。 教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；? 2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标 教学难点 如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。 教学过程 复习预习 平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。 二、知识讲解 考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式 1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0） 顶点坐标（h，k） 直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值 3、双根式：y=a(x-)(x-)（a≠0） (,是抛物线与x轴交点的横坐标) 并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行 4、 顶点在原点： 5、过原点： 6、 顶点在y轴： 考点/易错点2：建立平面直角坐标系 在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置 2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。 三、例题精析 【例题1】 【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 【答案】 （1）设抛物线的解析式为y＝ax2， 且过点（10，－4） ∴ 故 （2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（） 则 ∴ （3）当d＝18时， ∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。 【解析】顶点式：y=a（x-h）+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标． 【例题2】 【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶? 【答案】解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2） 设抛物线为y=ax2+k.???????????????????? 由B、D两点在抛物线上，有 ???? 解这个方程组，得? 所以，????????? 顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h）? 所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶. 【解析】 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式 【例题3】 【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ O O x CX y D B A E F 【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax 2＋h 又知B (2，0)，D (2，3) ∴ 解得： ∴y＝－x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE＝6 EF＝OE－OF＝3 t＝＝＝12 (小时) 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【解析】建立直角坐标系，求出解析式 四、课堂运用 【基础】 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强． (1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 【巩固】 1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，