函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案.docxVIP

.. 一求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。 （2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0底数1;底数1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：) 练习 1、求下列函数的定义域： ⑴ 1、（1） ⑵ （2） ⑶ （3） 2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围； （2）在同一个题中x不是同一个x； （3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。 （4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。 例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。 解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]） ∴ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变） ∴f(2x-1)中 ∴ ∴f(2x-1)的定义域为 练习 设函数的定义域为，则函数的定义域为_、； _______；函数的定义域为________； 3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。 3.复合函数定义域 复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例2： 分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。 解：由f(x)的定义域为（-2,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）； ，解得0x2 所以，g(x)的定义域为（0,2）. （一）求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法（利用函数图象） 一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。 练习 求值域。 2.配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。 例1：求 解：配方： f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间 （