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第3章 命题逻辑的推理理论 本章说明 3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P 本章小结 习题 作业 3.1 推理的形式结构 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。 命题逻辑的推理理论 有效推理的定义 定义3.1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，（1）或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假;（2）或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真;则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 关于有效推理的说明 ?＝{A1，A2，…，Ak}由 ?推B的推理记为┣B若推理是正确的，记为 ? ╞ B若推理是不正确的，记为 ? B 关于有效推理的说明 例题 ?(1) {p,p→q}├ q ?(2) {p,q→p}├ q 有效推理的等价定理 定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。 定理3.1的证明 (1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况， 因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它为重言式。 (2)证明充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式， 则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况， 即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合推理正确的定义。 推理的形式结构 设?={ A1, A2, …, Ak}，记为?┣B。 A1?A2?…?Ak?B 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 判断有效结论的常用方法 判断推理是否正确的方法 例题 （1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她 去游泳了。 推理定律--重言蕴含式 (1) A ? (A∨B)?????????????????? ?????? 附加律 (2) (A∧B) ? A ?????????????????????????? 化简律 (3)?(A→B)∧A ? B ?????????????????????????? 假言推理 (4) (A→B)∧┐B ? ┐A ????????????? ????? ??? 拒取式 (5) (A∨B)∧┐B ? A ??????????????????????? ? 析取三段论 (6)?(A→B) ∧ (B→C) ? (A→C) ?????????? ?? ?? 假言三段论 (7)?(A?B) ∧ (B?C) ? (A ? C) 等价三段论 (8)?(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ?(B∨D)??? ????? 构造性二难  ?(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ? B?? ??? 构造性二难 (特殊形式) (9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ?(┐A∨┐C) 破坏性二难 关于推理定律的几点说明 A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理定律。例如双重否定律A?? ?A产生两条推理定律A?? ?A和? ?A?A。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推理系统中的推理规则。 3.2 自然推理系统P 判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演算法和主析取范式法。 当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演算量太大。 对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。 要构造出严谨的证明就必须在形式系统中进行。 自然推理系统P 自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: ? , ? , ? , ? , ? (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2)