勾股定理(一)文档.doc

勾股定理（一） 【新课引入】 一、勾股定理的定义 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？ 等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形，，，，，的面积，看看能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积） 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实． 勾股定理 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）．HYPERLINK /view/587943.htm \t _blank数学公式中常写作 在任何一个HYPERLINK /view/8935.htm \t _blank直角三角形（RT△）中（等腰直角三角形也算在内），两条HYPERLINK /view/5693215.htm \t _blank直角边的长度的HYPERLINK /view/33276.htm \t _blank平方和等于HYPERLINK /view/324140.htm \t _blank斜HYPERLINK /view/132226.htm \t _blank边长度的平方，这就叫做勾股定理．即勾的长度的平方加股的长度的平方等于HYPERLINK /view/457671.htm \t _blank弦的长度的平方 二、勾股定理的证明： 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，因此不断出现新的证法．下面介绍几种证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？ （一）传说中毕达哥拉斯的证法： 提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等． （二）弦图的另一种证法： 提示：以斜边为边长的正方形的面积四个三角形的面积=外正方形的面积 （三）美国第20任总统茄菲尔德的证法： 提示：三个三角形的面积和=一个梯形的面积 引入：1.一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法．早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命． 图1我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去． 图1 2.一个著名的问题：《九章算术》有一勾股定理名题:“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．” 本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐．问水有多深，该植物有多长？ 【例题解析】 【例1】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为求证： 【练】1．勾股定理的具体内容是： 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；（中线倍长） ⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ； 3．△ABC的三边，若满足，则 =90°； 若满足，则∠B是 角； 若满足，则∠B是 角 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理 【例2】在Rt△ABC，∠C=90° 已知，求 已知求 已知求 已知求 已知=15，∠A=30°，求， 【例3】 已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边的长 【例4】已知：等边△ABC的边长是6cm （1）求等边△ABC的高 （2）求S△ABC 【练】1．填空题 ①在Rt△ABC，∠C=90°，，则 ②在Rt△ABC，∠B=90°，，则 ③在Rt△ABC，∠C=90°，，则 ， ④一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 ⑥已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 2．已知：如图，在