勾股定理的应用实例解析文档.doc

  1. 1、本文档共13页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
勾股定理的应用实例解析文档

第十一讲?勾股定理与应用 时间:2005-9-9 16:11:00 来源:初中数学竞赛 作者:佚名 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理.   勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即 a2+b2=c2.   勾股定理逆定理 如果三角形三边长a,b,c有下面关系: a2+b2=c2   那么这个三角形是直角三角形.   早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法.   关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.   证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.   过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为 AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,   所以△ACE≌△AGB(SAS).而     所以 SAEML=b2. ①   同理可证 SBLMD=a2. ②   ①+②得 SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2,   即 c2=a2+b2.   证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,   所以   AG=GH=HB=AB=c,   ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,   因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即   化简得 a2+b2=c2.     证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF, DH分别垂直EG于F,H.由作图不难证明,下述各直角三角形均与Rt△ABC全等: △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.   设五边形ACKDE的面积为S,一方面   S=SABDE+2S△ABC, ①   另一方面   S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②   由①,②      所以 c2=a2+b2.   关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名.   利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论.   定理 在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.   证 (1)设角C为锐角,如图2-19所示.作AD⊥BC于D, 则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中,   AB2=AD2+BD2, ①   在直角三角形ACD中,   AD2=AC2-CD2, ②   又   BD2=(BC-CD)2, ③   ②,③代入①得   AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2    =AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD    =AC2+BC2-2BC·CD,   即   c2=a2+b2-2a·CD. ④   (2)设角C为钝角,如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中,   AB2=AD2+BD2, ⑤   在直角三角形ACD中,   AD2=AC2-CD2, ⑥   又   BD2=(BC+CD)2, ⑦   将⑥,⑦代入⑤得   AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2    =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD    =AC2+BC2+2BC·CD,   即   c2=a2+b2+2a·cd. ⑧   综合④,⑧就是我们所需要的结论      特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述: c2=a2+b2.   因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).   由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中,   (1)若c2=a2+b2,则∠C=90°;   (2)若c2<a2+b2,则∠C<90°;   (3)若c2>a2+b2,则∠C>90°.   勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.   例1 如图2-21所示.已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E

文档评论(0)

honey888 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档