勾股定理跟其应用文档.docx

第五次课 勾股定理及其应用 ?本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 内容/概念 表示方法/举例 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用，表示直角三角形的两直角边，表示斜边，那么 勾股定理的 逆定理 如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 用（为最长边）表示三角形的三边，如果，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 满足的三个正整数，称为一组勾股数 常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等 基本勾股数组 满足且互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组 常见的基本勾股数组有：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ?重点知识 勾股定理的验证 验证方法 验 证 过 程 （美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以，即 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以为边长的小正方形和一个边长为的大正方形，因为大正方形的边长为，所以面积为，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为的直角三角形和一个边长为的正方形，所以其面积为所以，从而. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以为边长的正方形面积等于分别以为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 ?重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 9ED 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 A E F D 丙 D A E B F 乙 几 何 体 的 侧 面 展 开 图 长方体 将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形 圆柱 圆柱的侧面展开图是一个长方形 BA B A 展开 展开 名师提示 对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径. 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范 直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。 例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,，，设AB=，BC=，AC=，请利用四边形的面积验证勾股定理. A A D C B 图1-1-1 例2 (1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。 已知中，，的对应边分别是，且，则 已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为 例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积 图1-1-4例4 如图1-1-4 图1-1-4 例5 （1）已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点．当AD是∠A的平分线时，求CD的长？ 图1-1-5 图1-1-5 （3）如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积. 图1-1-6 图1-1-6 例6.（1）如图1-2-9（1），有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解） （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8处，已知旗杆原长16 ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 图1-1-9 图1-1-9（2） 例7 如图1-2-6，A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用